Jednostrana granična vrijednost

U kalkulusu, jednostrana granična vrijednost je jedna od dvije granične vrijednosti funkcije f(x) realne varijable x kada x teži specifičnoj tački bilo odozdo ili odozgo. To se zapisuje na slijedeće načine:

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\ \mathrm {or} \ \lim _{x\downarrow a}\,f(x)$

za granično vrijednost kada x teži u a odozgo (ili "sa desne strane"), te slično tome

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\ \mathrm {or} \ \lim _{x\uparrow a}\,f(x)$

za granično vrijednost kada x teži u a odozdo (ili "sa lijeve strane").

Dvostrane granične vrijednosti postoje i jednake su ako i samo ako postoji granična vrijednost od f(x) kada x teži u a. U nekim slučajevima, u kojima granična vrijednost

$\lim _{x\to a}f(x)\,$

ne postoji, dvostrane granične vrijednosti iapk postoje. Posljedično, granična vrijednost kada x teži u a ponekad se naziva "dvostrana granična vrijednost". U nekim slučajevima, jedna od dvije jednostrane granične vrijednosti postoji, dok druga ne postoji, dok u nekim slučajevima ne postoji ni jedna.

Primjeri

Jedan primjer funkcije sa različitim jednostranim graničnim vrijednostima je slijedeća:

Fukcija $f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\mbox{ za }}x<3\\11-(x-3)^{2}&{\mbox{ za }}x>3\end{matrix}}\right.$

$\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,$

gdje je

$\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.$

Drugi primjer je izlomljena funkcija

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\mbox{ for }}x<3\\11-(x-3)^{2}&{\mbox{ for }}x>3\end{matrix}}\right.$

U tački x₀ = 3 granična vrijednost sa lijeve strane je

$\lim _{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=9$

dok je granična vrijednost sa desne strane

$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}f(x)=11.$

Pošto ove dvije granične vrijednosti nisu jednake, za ovu funkciju se kaže da ima skokoviti prekid u x₀.

Veza sa topološkom definicijom granične vrijednosti

Jednostrana granična vrijednost u tački p odgovara općoj definicije granične vrijednosti, sa domenom funkcije odgraničenim na jednu stranu, bilo uzimanjem da je domen funkcije podskup topološkog prostora, ili razmatrajući podprostor jednostrane granične vrijednosti, uključujući i p.

Abelov teorem

Značajan teorem koji tretira jednostranu graničnu vrijednost određenih potencijalnih redova u granicama njihovih intervala konvergencije je Abelov teorem.

Također pogledajte

• Granična vrijednost funkcije
• Realna projektivna linija