Jednostrana granična vrijednost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U kalkulusu, jednostrana granična vrijednost je jedna od dvije granične vrijednosti funkcije f(x) realne varijable x kada x teži specifičnoj tački bilo odozdo ili odozgo. To se zapisuje na slijedeće načine:

\lim_{x\to a^+}f(x)\ \mathrm{or}\ \lim_{x\downarrow a}\,f(x)

za granično vrijednost kada x teži u a odozgo (ili "sa desne strane"), te slično tome

\lim_{x\to a^-}f(x)\ \mathrm{or}\ \lim_{x\uparrow a}\, f(x)

za granično vrijednost kada x teži u a odozdo (ili "sa lijeve strane").

Dvostrane granične vrijednosti postoje i jednake su ako i samo ako postoji granična vrijednost od f(x) kada x teži u a. U nekim slučajevima, u kojima granična vrijednost

\lim_{x\to a} f(x)\,

ne postoji, dvostrane granične vrijednosti iapk postoje. Posljedično, granična vrijednost kada x teži u a ponekad se naziva "dvostrana granična vrijednost". U nekim slučajevima, jedna od dvije jednostrane granične vrijednosti postoji, dok druga ne postoji, dok u nekim slučajevima ne postoji ni jedna.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Jedan primjer funkcije sa različitim jednostranim graničnim vrijednostima je slijedeća:

Fukcija f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ za } x< 3 \\ 11-(x-3)^2& \mbox{ za } x>3\end{matrix}\right.
\lim_{x \rarr 0^+}{1 \over 1 + 2^{-1/x}} = 1,

gdje je

\lim_{x \rarr 0^-}{1 \over 1 + 2^{-1/x}} = 0.

Drugi primjer je izlomljena funkcija

f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 3 \\ 11-(x-3)^2& \mbox{ for } x>3\end{matrix}\right.

U tački x0 = 3 granična vrijednost sa lijeve strane je

\lim_{x\rarr 3^-} f(x) = 9

dok je granična vrijednost sa desne strane

\lim_{x\rarr 3^+} f(x) = 11.

Pošto ove dvije granične vrijednosti nisu jednake, za ovu funkciju se kaže da ima skokoviti prekid u x0.

Veza sa topološkom definicijom granične vrijednosti[uredi | uredi izvor]

Jednostrana granična vrijednost u tački p odgovara općoj definicije granične vrijednosti, sa domenom funkcije odgraničenim na jednu stranu, bilo uzimanjem da je domen funkcije podskup topološkog prostora, ili razmatrajući podprostor jednostrane granične vrijednosti, uključujući i p.

Abelov teorem[uredi | uredi izvor]

Značajan teorem koji tretira jednostranu graničnu vrijednost određenih potencijalnih redova u granicama njihovih intervala konvergencije je Abelov teorem.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

[icon] Ova sekcija zahtijeva proširenje.