Kvadratna funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, kvadratna funkcija je polinomalna funkcija oblika , gdje je . Grafik kvadratne funkcije je parabola čija je glavna osa paralelna sa y-osom.

Izraz u definiciji kvadratne funkcije je polinom stepena 2 ili polinom drugog stepena, zato što je najveći stepen od broj 2.

Ako se za kvadratnu funkciju kaže da je jednaka nuli, tada je rezultat kvadratna jednačina. Rješenja ove jednačine nazivaju se korijeni jednačine ili nule funkcije.

Korijeni[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Kvadratna jednačina

Dva korijena kvadratne jednačine , gdje je , su:

Ova formula naziva se kvadratna formula.

  • Neka je
  • Ako je , tada postoje dva različita korijena, pošto je pozitivan realna broj.
  • Ako je , tada su dva korijena jednaka, pošto je nula.
  • Ako je , tada su dva korijena konjugovano kompleksni brojevi, pošto je imaginarno.

Ako imamo da je i (ili obrnuto), se može napisati kao .

Grafik[uredi | uredi izvor]

Bez obzira na oblik, grafik kvadratne funkcije je parabola (kao što je prethodno pokazano).

  • Ako je , parabola je otvorena prema gore.
  • Ako je , parabola je otvorena prema dole.

Koeficijent a kontroliše brzinu rasta (ili opadanja) kvadratne funkcije iz tjemena, veći pozitivan broj a čini da funkcija raste brže, te se grafik čini više zatzvorenim.

Koeficijenti b i a zajedno kontrolišu osu simetrije parabole (također i x-koordinatu tjemena parabole).

Koeficijent b je smrmost parabole kada ona presjeca y-osu.

Koeficijent c kontroliše visinu parabole, specifičnije, to je tačka gdje parabola presjeca y-osu.

Presjek sa x–osom[uredi | uredi izvor]

Presjeci grafika sa x-osom su isti kao i korijeni kvadratne funkcije (pogledajte iznad).

Tjeme[uredi | uredi izvor]

Tjeme (ili vrh) parabole je mjesto gdje se ona previja, pa se zbog toga naziva i tačka prevoja. Ako je kvadratna funkcija u svom standardnom obliku, tjeme je . Metodom potpunog kvadrata, može se opći oblik: pretvoirti u

tako da će tjeme parabole u općem obliku biti

Ako je kvadratna funkcija u faktorskom obliku

srednja vrijednost dva korijena

je x-koordinata tjemena, te je tjeme

Tjeme je, također, tačka kasimuma, ako je ili tačka minumuma, ako je .

Vertikalna linija

koja prolazi kroz tjeme se naziva osa simetrije parabole.

  • Tačke maksimuma i minimuma
Maksimu ili minimum funkcije se uvijek dobijaju u tjemenu. Izjednačavanjem prve derivacije funkcije sa nulom, dobit ćemo koordinate tjemena. Prednost ovog metoda je ta da se može koristiti i za ostale funkcije.
Ako imamo funkciju koja je jednostavna kvadratna jednačina. Da bi našli njene tačke maksimuma ili minimuma (koje zavise od , ako je , onda ima tačke minimuma, a ako je < 0\,\!</math>, ima tačke maksimuma) moramo prvo naći njenu derivaciju:
Tada, tražimo korijene od :
Dakle, je vrijednost od . Sada, da bi našli vrijednost, zamijenimo u :
Odavde, tačke maksimuma ili minimuma su:

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]