Razlika između verzija stranice "Inverzna funkcija"
[nepregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
No edit summary |
m Bot: Automatska zamjena teksta (-Slika: +Datoteka:) |
||
Red 1: | Red 1: | ||
[[ |
[[Datoteka:Inverse Function.png|thumb|right|Funkcija ƒ i njena inverzija ƒ<sup>–1</sup>. Pošto ƒ preslikava ''a'' u 3, inverzna ƒ<sup>–1</sup> preslikava 3 nazad u ''a''.]] |
||
U [[matematika|matematici]], ako je ƒ [[funkcija (matematika)|funkcija]] od ''A'' do ''B'', tada je '''inverzna funkcija''' od ƒ funkcija u suprotnom smijeru, od ''B'' do ''A'', sa osobinom da je [[kompozicija funkcija|kompozicija]]) od ''A'' do ''B'' do ''A'' (ili od ''B'' do ''A'' do ''B'') vraća svaki element početnog skupa u njega samoga. Zbog toga, ako za argument ''x'' u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije ''y'', tada za vrijednost argumenta ''y'' u inverznoj funkciji ƒ<sup>–1</sup> (čitajte: ''f inverzno'', a ne miješati sa [[stepenovanje]]e) dobijamo vijednost inverzne funkcije''x'', dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Svaka funkcija nema svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se '''inverzne funkcije'''. |
U [[matematika|matematici]], ako je ƒ [[funkcija (matematika)|funkcija]] od ''A'' do ''B'', tada je '''inverzna funkcija''' od ƒ funkcija u suprotnom smijeru, od ''B'' do ''A'', sa osobinom da je [[kompozicija funkcija|kompozicija]]) od ''A'' do ''B'' do ''A'' (ili od ''B'' do ''A'' do ''B'') vraća svaki element početnog skupa u njega samoga. Zbog toga, ako za argument ''x'' u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije ''y'', tada za vrijednost argumenta ''y'' u inverznoj funkciji ƒ<sup>–1</sup> (čitajte: ''f inverzno'', a ne miješati sa [[stepenovanje]]e) dobijamo vijednost inverzne funkcije''x'', dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Svaka funkcija nema svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se '''inverzne funkcije'''. |
||
Red 9: | Red 9: | ||
== Definicije == |
== Definicije == |
||
[[ |
[[Datoteka:Inverse Functions Domain and Range.png|thumb|right|240px|Ako ƒ preslikava ''X'' u ''Y'', tada ƒ<sup>–1</sup> preslikava ''Y'' nazad u ''X''.]] |
||
Neka ƒ bude funkcija čiji je [[domen]] u [[skup (matematika)|skupu]] ''X'', te čija je [[oblast (matematika)|oblast]] skup ''Y''. Tada, ako postoji, '''inverzna funkcija'' od ƒ je funkcija ƒ<sup>–1</sup> sa domenom ''Y'' i oblasti ''X'', definisana slijedećim pravilom: |
Neka ƒ bude funkcija čiji je [[domen]] u [[skup (matematika)|skupu]] ''X'', te čija je [[oblast (matematika)|oblast]] skup ''Y''. Tada, ako postoji, '''inverzna funkcija'' od ƒ je funkcija ƒ<sup>–1</sup> sa domenom ''Y'' i oblasti ''X'', definisana slijedećim pravilom: |
||
:<math>\text{If }f(x) = y\text{, then }f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!</math> |
:<math>\text{If }f(x) = y\text{, then }f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!</math> |
||
Red 36: | Red 36: | ||
=== Inverzija kompozicije funkcija === |
=== Inverzija kompozicije funkcija === |
||
[[ |
[[Datoteka:Composition of Inverses.png|thumb|right|240px|Inverzna funkcija od ''g'' <small>o</small> ƒ je funkcija ƒ<sup>–1</sup> <small>o</small> ''g''<sup>–1</sup>.]] |
||
Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom |
Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom |
||
:<math>(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}</math> |
:<math>(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}</math> |
Verzija na dan 5 januar 2009 u 12:03
U matematici, ako je ƒ funkcija od A do B, tada je inverzna funkcija od ƒ funkcija u suprotnom smijeru, od B do A, sa osobinom da je kompozicija) od A do B do A (ili od B do A do B) vraća svaki element početnog skupa u njega samoga. Zbog toga, ako za argument x u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije y, tada za vrijednost argumenta y u inverznoj funkciji ƒ–1 (čitajte: f inverzno, a ne miješati sa stepenovanjee) dobijamo vijednost inverzne funkcijex, dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Svaka funkcija nema svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzne funkcije.
Na primjer, neka ƒ bude funkcija koja konvertuje temperaturu u stepenima Celzijusa u temperaturu u stepenima Fahrenheita:
tada njena inverzna funkcija konvertuje stepen Fahrenheita u stepena Celzijusa:
Definicije
Neka ƒ bude funkcija čiji je domen u skupu X, te čija je oblast skup Y. Tada, ako postoji, 'inverzna funkcija od ƒ je funkcija ƒ–1 sa domenom Y i oblasti X, definisana slijedećim pravilom:
Osobine
Jedinstvenost
Ako inverzna funkcija postoji za datu funkciju ƒ, ona je jedinstvena za tu datu funkciju, tj. postoji samo jedna inverzna funkcija zadate funkcije ƒ: mora postojati inverzna relacija.
Simetrija
Postoji simetričnost između funkcije i njene inverzije. Specifično, ako je ƒ–1 inverzna funkcija od funkcije ƒ, tada je inverzna funkcija od ƒ–1 originalna funkcija ƒ. U simbolima:
Ovo slijedi jer je inverzija relacija involucija: ako se ponavlja, vraćate se gdje ste počeli.
Ovaj iskaz je očita posljedica gore objašnjene dedukcije da funkcija, za slučaj da ƒ bude inverzabilna, mora biti injetivna (prva definicija inverzne funkcije) ili bijektivna (druga definicija). Osobina simetrije može se sažeto izraziti slijedećom formulom:
Inverzija kompozicije funkcija
Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom
Primijetimo da je redoslijed ƒ i g zamijenjen; da bi riješili g, koju prati ƒ, prvo moramo riješiti ƒ, pa onda g.
Na primjer, neka je ƒ(x) = x + 5, i neka je g(x) = 3x. Tada je kompozicija ƒ o g funkcija koja argument prvo množi sa tri, a zatim dodaje pet:
Kako bi obrnuli proces, najprije moramo prebaciti pet na lijevu stranu, a zatim sve podijeliti sa tri:
Ovo je kompozicija g–1 o ƒ–1) (y).
Samoinverzija
Ako je X skup, tada je funkcija identiteta na skupu X svoja vlastita inverzna funkcija:
Općenitije, funkcija ƒ: X → X je jednaka vlastitoj inverznoj funkciji ako i samo ako je kompozicija ƒ o ƒ jednaka idx. Takva funkcija se naziva involucija.
Inverzi u kalkulusu
Kalkulus jedne varijable primarno se koncentriše na funkcije koje preslikavaju realne brojeve u realne brojeve. Takve funkcije su često definisane preko formula, kao što su:
Funkcija ƒ iz realnih brojeva u realne brojeve posjeduje inverznu funkciju sve dok grafik funkcije prolazi test horizontalne linije.
Ova tabela prikazuje nekoliko standardnih funkcija i njihovi inverza:
Funkcija ƒ(x) Inverzna ƒ–1(y) Napomena x + a y – a a – x a – y mx y / m m ≠ 0 1 / x 1 / y x, y ≠ 0 x2 samo x, y ≥ 0 x3 bez restrikcija na x and y xp y1/p (npr. ) x, y ≥ 0 općenito, p ≠ 0 ex ln y y > 0 ax loga y y > 0 i a > 0 trigonometrijske funkcije inverzne trigonometrijske funkcije razne restrikcije (pogledajte tabelu ispod)
Formula za inverznu funkciju
Jedan od pristupa za pronalaženje formule za ƒ–1, ako ona postoji, je da se riješi jednačina y = ƒ(x) za x. Na primjer, ako je ƒ funkcija
tada moramo riješiti jednačinu y = (2x + 8)3}} za x:
Tako je inverzna funkcija ƒ–1 data formulom
Ponekad se inverzna funkcija ne može izraziti preko formule. Na primjer, ako je ƒ funkcija
tada je ƒ injetivna, i zbog toga posjeduje inverznu funkciju ƒ–1. Ne postoji jednostavna formula za ovu inverznu funkcju, pošto se jednačina y = x + sin x ne može riješiti algebarski za x.
Također pogledajte
- Inverzne trigonometrijske funkcije
- Logaritam
- Teorem inverzne funkcije
- Inverzne funkcije i diferencijacija
- Inverzna relacija
- Inverzna element
Reference
Bibliografija
- Stewart, James (2002), Calculus (5th izd.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397