Ravanska kriva

U matematici, ravanska kriva je kriva u ravni koja može biti ili Euklidska ravan, afina ravan ili projektivna ravan. Najčešće proučavani slučajevi su glatke ravninske krive (uključujući komadno glatke ravne krive) i algebartshe ravne krive. Ravne krive također uključuju Jordanove krive (krive koje obuhvataju područje ravnine, ali ne moraju biti glatke) i grafove kontinuiranih funkcija.

Simbolski prikaz

Ravanska kriva se često može predstaviti u Cartezijanskim koordinatama implicitnom jednačinom oblika $f(x,y)=0$ za neku specifičnu funkciju f. Ako se ova jednačina može eksplicitno riješiti za y ili x – odnosno prepisati kao $y=g(x)$ ili $x=h(y)$ za određenu funkciju g ili h – onda ovo daje alternativni, eksplicitni, oblik reprezentacije. Ravna kriva se također često može predstaviti u cartezijanskim koordinatama parametrijske jednačine oblika $(x,y)=(x(t),y(t))$ za određene funkcije $x(t)$ i $y(t).$

Ravne krive ponekad mogu biti predstavljene i u alternativnim koordinatnim sistemima, kao što su polarne koordinate koje izražavaju lokaciju svake tačke u smislu ugla i udaljenosti od početka.

Glatka ravna kriva

Glatka ravna kriva je kriva u realnoj euklidskoj ravni \R^2 i jednodimenzionalna je glatka mnogostrukost. To znači da je glatka ravna kriva ravna kriva koja "lokalno izgleda kao prava", u smislu da blizu svake tačke može biti preslikana u pravu pomoću glatke funkcije. Ekvivalentno, glatka ravna kriva se može lokalno dati jednadžbom $f(x,y)=0,$ gdje Šablon:Tmath je glatka funkcija, a parcijalni derivati Šablon:Tmath a Šablon:Tmath nikada nisu oba 0 u tački krive.

Algebarska ravna kriva

Kriva algebarske ravni je kriva u afina ili projektivna ravan data jednom polinomskom jednačinom $f(x,y)=0$ (ili $F(x,y,z)=0,$ gdje je F homogeni polinom, u projektivnom slučaju.)

Algebarske krive se intenzivno proučavaju od 18. stoljeća.

Svaka kriva algebarske ravni ima stepen, stepen definirajuće jednačine, koji je jednak, u slučaju algebarski zatvorenog polja, broju presjeka krive sa linija u opći položaj. Naprimjer, krug dat jednadžbom $x^{2}+y^{2}=1$ ima stepen 2.

nesingularne ravni algebarske krive stupnja 2 nazivaju se konusni presjeks, a njihov projektivni završetak je izomorfan projektivnom kompletiranju kružnice $x^{2}+y^{2}=1$ (to je projektivna kriva jednadžbe $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$). Ravan krive stepena 3 nazivaju se kriva kubične ravnis i, ako nisu singularne, eliptična krivas. One stepena 4 nazivaju se kvartična ravna krivas.

Primjeri

Brojni primjeri ravnih krivulja prikazani su u Galerija krivulja i navedeni na Lista krivulja. Ovdje su prikazane algebarske krive stepena 1 ili 2 (algebarska kriva stepena manjeg od 3 uvijek je sadržana u ravni):

Naziv	Implicitna jednačina	Parametrijska jednačina	Kao funkcija	Grafikon
Prava linija	$ax+by=c$	$(x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
Krug	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(x,y)=(r\cos t,r\sin t)$
Parabola	$y-x^{2}=0$	$(x,y)=(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
Elipsa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$
Hiperbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)$

Također pogledajte

• Algebarska geometrija
• Konveksna kriva
• Diferencijalna geometrija
• Osgoodova kriva
• Uklapanje ravninske krive
• Projektivni varijeteti
• Kosa kriva

Reference

• Coolidge, J. L. (28. 4. 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN 0-486-60288-5.

Vanjski linkovi

• Eric W. Weisstein, Ravanska kriva na MathWorld-u.