1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·

Arhimedova slika sa a = 3/4

U matematici, beskonačni red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · je primjer jednog od prvih beskonačnih redova koji je ikada sumiran u historiji matematike; koristio ga je Arhimed oko 250.–200. p. n. e. Njegova suma iznosi 1/3. Općenitije, za bilo koje a, beskonačan geometrijski red, čiji je prvi član a i čiji je omjer 1/4, je konvergentan sa sumom

$a+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{4^{2}}}+{\frac {a}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}a.$

Vizuelno prikazivanje

3s = 1.

Red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · ima prilično jednostavan vizuelni prikaz zato i kvadrat i trougao dijele površinu na četiri slična dijela, od kojih svaki predstavlja 1/4 površine originala.

Na slici desno, ako se pretpostavi da veliki kvadrat ima površinu 1, tada najveći crni kvadrat ima površinu (1/2)*(1/2) = 1/4. Slično tome, drugi najveći crni kvadrat ima površinu 1/16, a treći 1/64. Površina koju zauzimaju svi crni kvadrati tada iznosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, a isto toliko iznosi i površina koju zauzimaju sivi i bijeli kvarati. Pošto ove tri površine prekrivaju jediničnu površinu, slika nam pokazuje da

$3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.$

Arhimedova vlastita ilustracija, prikazana na vrhu, bila je malo različita i bila je bliža jednačini

3s = 1 again

${\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\cdots =1.$

Pogledajte dole za Arhimedovu interpretaciju.

Ista geometrijska strategija funkcioniše na trouglovima, kao što je prikazano na slici desno: ako veliki trugao ima površinu 1, tada najveći crni trougao ima površinu 1/4, i tako dalje. Figura u cjelini posjeduje samosličnost između velikog trougla i njegovih pod-trouglova (manji trouglovi).

Arhimed

Arhimed se sreo sa redovima u svoj radu Kvadratura parabole. On je računao površinu unutar parabole metodom iscrpljenja, te je, kao rezultat, dobio niz trouglova;u svakom narednom koraku u konstrukciji dodaje površinu od 1/4 od površine prethodnog koraka. Tražio je rezultat u kojem je ukupna površina 4/3 površine prvog koraka. Kako bi to dobio, Arhimed je uveo slijedeću tvrdnju (teoremu):

Tvrdnja 23. Za dati red površina A, B, C, D, … , Z, od kojih je A najveća, a svaka naredna je veća četiri puta od slijedeće u redu, tada je

$A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.$

Arhimed je dokazuje ovu tvrdnju najprije sa proračunim

${\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}$

Sa druge strane,

${\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).$

Oduzimanjem ove jednačine od prethodne dobijamo

$B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A$,

te dodajući A na obje strane, dobijamo željeni rezultat.

Danas, standardniji iskaz Arhimedove tvrdnje je da su parcijalne sume reda 1 + 1/4 + 1/16 + · · ·:

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.$

Ovaj oblik može se dokazati množenjem obje strane sa 1 − 1/4, gdje bi se većina članova na lijevoj strani pokratilo u parovima. Ovaj način funkcioniše kod većine konačnih geometrijskih redova.

Limes

Archimedesova tvrdnja 24 primjenljuje konačnu (ali neodređenu) sumu u tvrdnji 23 na površinu unutar parabole preko dvostrukog reductio ad absurdum. On u stvari ne uzima limes gore navedenih parcijalnih suma, ali u modernom kalulusu ovaj korak je prilično lagan:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.$

Pošto je suma beskonačnog reda definisana sa limesom njegovih parcijalnih suma,

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}.$

Reference

• Ajose, Sunday and Roger Nelsen (jun 1994). "Proof without Words: Geometric Series". Mathematics Magazine. 67 (3): 230.
• Heath, T. L. (1953) [1897]. The Works of Archimedes. Cambridge UP. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link) Page images at Casselman, Bill. "Archimedes' quadrature of the parabola". Arhivirano s originala, 20. 3. 2012. Pristupljeno 22. 3. 2007. HTML with figures and commentary at Otero, Daniel E. (2002). "Archimedes of Syracuse". Arhivirano s originala, 7. 3. 2007. Pristupljeno 22. 3. 2007.
• Mabry, Rick (februar 1999). "Proof without Words: ¹⁄₄ + (¹⁄₄)² + (¹⁄₄)³ + · · · = ¹⁄₃". Mathematics Magazine. 72 (1): 63.
• Nelsen, Roger B. and Claudi Alsina (2006). Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics. MAA. ISBN 0-88385-746-4.
• Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. ISBN 0-19-853585-6.
• Stein, Sherman K. (1999). Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. MAA. ISBN 0-88385-718-9.
• Swain, Gordon and Thomas Dence (april 1998). "Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited". Mathematics Magazine. 71 (2): 123–30.