1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Arhimedova slika sa a = 3/4

U matematici, beskonačni red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · je primjer jednog od prvih beskonačnih redova koji je ikada sumiran u historiji matematike; koristio ga je Arhimed oko 250.–200. p. n. e.[1] Njegova suma iznosi 1/3. Općenitije, za bilo koje a, beskonačan geometrijski red, čiji je prvi član a i čiji je omjer 1/4, je konvergentan sa sumom

Vizuelno prikazivanje[uredi | uredi izvor]

3s = 1.

Red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · ima prilično jednostavan vizuelni prikaz zato i kvadrat i trougao dijele površinu na četiri slična dijela, od kojih svaki predstavlja 1/4 površine originala.

Na slici desno,[2][3] ako se pretpostavi da veliki kvadrat ima površinu 1, tada najveći crni kvadrat ima površinu (1/2)*(1/2) = 1/4. Slično tome, drugi najveći crni kvadrat ima površinu 1/16, a treći 1/64. Površina koju zauzimaju svi crni kvadrati tada iznosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, a isto toliko iznosi i površina koju zauzimaju sivi i bijeli kvarati. Pošto ove tri površine prekrivaju jediničnu površinu, slika nam pokazuje da

Arhimedova vlastita ilustracija, prikazana na vrhu,[4] bila je malo različita i bila je bliža jednačini

3s = 1 again

Pogledajte dole za Arhimedovu interpretaciju.

Ista geometrijska strategija funkcioniše na trouglovima, kao što je prikazano na slici desno:[2][5][6] ako veliki trugao ima površinu 1, tada najveći crni trougao ima površinu 1/4, i tako dalje. Figura u cjelini posjeduje samosličnost između velikog trougla i njegovih pod-trouglova (manji trouglovi).

Arhimed[uredi | uredi izvor]

Arhimed se sreo sa redovima u svoj radu Kvadratura parabole. On je računao površinu unutar parabole metodom iscrpljenja, te je, kao rezultat, dobio niz trouglova;u svakom narednom koraku u konstrukciji dodaje površinu od 1/4 od površine prethodnog koraka. Tražio je rezultat u kojem je ukupna površina 4/3 površine prvog koraka. Kako bi to dobio, Arhimed je uveo slijedeću tvrdnju (teoremu):

Tvrdnja 23. Za dati red površina A, B, C, D, … , Z, od kojih je A najveća, a svaka naredna je veća četiri puta od slijedeće u redu, tada je [7]

Arhimed je dokazuje ovu tvrdnju najprije sa proračunim

Sa druge strane,

Oduzimanjem ove jednačine od prethodne dobijamo

,

te dodajući A na obje strane, dobijamo željeni rezultat.[8]

Danas, standardniji iskaz Arhimedove tvrdnje je da su parcijalne sume reda 1 + 1/4 + 1/16 + · · ·:

Ovaj oblik može se dokazati množenjem obje strane sa 1 − 1/4, gdje bi se većina članova na lijevoj strani pokratilo u parovima. Ovaj način funkcioniše kod većine konačnih geometrijskih redova.

Limes[uredi | uredi izvor]

Archimedesova tvrdnja 24 primjenljuje konačnu (ali neodređenu) sumu u tvrdnji 23 na površinu unutar parabole preko dvostrukog reductio ad absurdum. On u stvari[9] ne uzima limes gore navedenih parcijalnih suma, ali u modernom kalulusu ovaj korak je prilično lagan:

Pošto je suma beskonačnog reda definisana sa limesom njegovih parcijalnih suma,

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Shawyer and Watson p. 3.
  2. ^ a b Nelsen and Alsina p. 74.
  3. ^ Ajose and Nelson.
  4. ^ Heath p.250
  5. ^ Stein p. 46.
  6. ^ Mabry.
  7. ^ This is a quotation from Heath's English translation (p.249).
  8. ^ This presentation is a shortened version of Heath p.250.
  9. ^ Modern authors differ on how appropriate it is to say that Archimedes summed the infinite series. For example, Shawyer and Watson (p.3) simply say he did; Swain and Dence say that "Archimedes applied an indirect limiting process"; and Stein (p.45) stops short with the finite sums.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Ajose, Sunday and Roger Nelsen (jun 1994). "Proof without Words: Geometric Series". Mathematics Magazine. 67 (3): 230.
  • Heath, T. L. (1953) [1897]. The Works of Archimedes. Cambridge UP. Page images at Casselman, Bill. "Archimedes' quadrature of the parabola". Pristupljeno 22. 3. 2007. HTML with figures and commentary at Otero, Daniel E. (2002). "Archimedes of Syracuse". Pristupljeno 22. 3. 2007.
  • Mabry, Rick (februar 1999). "Proof without Words: 14 + (14)2 + (14)3 + · · · = 13". Mathematics Magazine. 72 (1): 63.
  • Nelsen, Roger B. and Claudi Alsina (2006). Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics. MAA. ISBN 0-88385-746-4.
  • Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. ISBN 0-19-853585-6.
  • Stein, Sherman K. (1999). Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. MAA. ISBN 0-88385-718-9.
  • Swain, Gordon and Thomas Dence (april 1998). "Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited". Mathematics Magazine. 71 (2): 123–30.