1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Arhimedova slika sa a = 3/4

U matematici, beskonačni red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · je primjer jednog od prvih beskonačnih redova koji je ikada sumiran u historiji matematike; koristio ga je Arhimed oko 250.–200. p. n. e.[1] Njegova suma iznosi 1/3. Općenitije, za bilo koje a, beskonačan geometrijski red, čiji je prvi član a i čiji je omjer 1/4, je konvergentan sa sumom

Vizuelno prikazivanje[uredi | uredi izvor]

3s = 1.

Red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · ima prilično jednostavan vizuelni prikaz zato i kvadrat i trougao dijele površinu na četiri slična dijela, od kojih svaki predstavlja 1/4 površine originala.

Na slici desno,[2][3] ako se pretpostavi da veliki kvadrat ima površinu 1, tada najveći crni kvadrat ima površinu (1/2)*(1/2) = 1/4. Slično tome, drugi najveći crni kvadrat ima površinu 1/16, a treći 1/64. Površina koju zauzimaju svi crni kvadrati tada iznosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, a isto toliko iznosi i površina koju zauzimaju sivi i bijeli kvarati. Pošto ove tri površine prekrivaju jediničnu površinu, slika nam pokazuje da

Arhimedova vlastita ilustracija, prikazana na vrhu,[4] bila je malo različita i bila je bliža jednačini

3s = 1 again

Pogledajte dole za Arhimedovu interpretaciju.

Ista geometrijska strategija funkcioniše na trouglovima, kao što je prikazano na slici desno:[2][5][6] ako veliki trugao ima površinu 1, tada najveći crni trougao ima površinu 1/4, i tako dalje. Figura u cjelini posjeduje samosličnost između velikog trougla i njegovih pod-trouglova (manji trouglovi).

Arhimed[uredi | uredi izvor]

Arhimed se sreo sa redovima u svoj radu Kvadratura parabole. On je računao površinu unutar parabole metodom iscrpljenja, te je, kao rezultat, dobio niz trouglova;u svakom narednom koraku u konstrukciji dodaje površinu od 1/4 od površine prethodnog koraka. Tražio je rezultat u kojem je ukupna površina 4/3 površine prvog koraka. Kako bi to dobio, Arhimed je uveo slijedeću tvrdnju (teoremu):

Tvrdnja 23. Za dati red površina A, B, C, D, … , Z, od kojih je A najveća, a svaka naredna je veća četiri puta od slijedeće u redu, tada je [7]

Arhimed je dokazuje ovu tvrdnju najprije sa proračunim

Sa druge strane,

Oduzimanjem ove jednačine od prethodne dobijamo

,

te dodajući A na obje strane, dobijamo željeni rezultat.[8]

Danas, standardniji iskaz Arhimedove tvrdnje je da su parcijalne sume reda 1 + 1/4 + 1/16 + · · ·:

Ovaj oblik može se dokazati množenjem obje strane sa 1 − 1/4, gdje bi se većina članova na lijevoj strani pokratilo u parovima. Ovaj način funkcioniše kod većine konačnih geometrijskih redova.

Limes[uredi | uredi izvor]

Archimedesova tvrdnja 24 primjenljuje konačnu (ali neodređenu) sumu u tvrdnji 23 na površinu unutar parabole preko dvostrukog reductio ad absurdum. On u stvari[9] ne uzima limes gore navedenih parcijalnih suma, ali u modernom kalulusu ovaj korak je prilično lagan:

Pošto je suma beskonačnog reda definisana sa limesom njegovih parcijalnih suma,

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Shawyer and Watson p. 3.
  2. ^ a b Nelsen and Alsina p. 74.
  3. ^ Ajose and Nelson.
  4. ^ Heath p.250
  5. ^ Stein p. 46.
  6. ^ Mabry.
  7. ^ This is a quotation from Heath's English translation (p.249).
  8. ^ This presentation is a shortened version of Heath p.250.
  9. ^ Modern authors differ on how appropriate it is to say that Archimedes summed the infinite series. For example, Shawyer and Watson (p.3) simply say he did; Swain and Dence say that "Archimedes applied an indirect limiting process"; and Stein (p.45) stops short with the finite sums.

Reference[uredi | uredi izvor]