Elementarna funkcija

U matematici, elementarna funkcija je funkcija izgrađena od konačnog broja eksponencijalnih, logaritamskih, konstanti, jedne varijable, te n-tih korijena preko kompozicije i kombinacija koristeći četiri elementarne operacije (+ – × ÷). Za trigonometrijske funkcije i i njihove inverze se pretpostavlja da su uključene u elementarne funkcije preko kompleksnih varijabli i vezama između trigonometrijskih funkcija i eksponencijalnih, te logaritamskih funkcija.

Elementarne funkcija smatraju se podskupom posebnih funkcija.

Korijeni jednačina su funkcija implicitno definisane kao rješenja polinomskih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Za polinome stepena četiri ili manjeg, postoje eksplicitne formule za računanje korijena (formule su elementarne funkcije), ali čak i za polinome višeg stepena fundamentalni teorem algebre i teorem implicitne funkcije osigurava postojanje funkcije kojom se može dobiti svaki korijen polinomske jednačine.

Primjeri elementarnih funkcija su:

${\frac {e^{\tan(x)}}{1-x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right)$

i

$\,\ln(-x^{2}).$

Domen posljednje funkcije ne uključuje realne brojeve. Primjer funkcije koja nije elementarna je funkcija greške

$\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$,

što je činjenica koja je ne može direktno uočiti iz definicije elementarne funkcije, ali se može dokazati pomoću Rischovog algoritma.

Elementarne funkcije uveo je Joseph Liouville u seriji radova od 1833. do 1841. godine. Algebarski tretman elementarnih funkcija počeo je Joseph Fels Ritt 1930tih.

Reference

• Maxwell Rosenlicht (1972). "Integration in finite terms". American Mathematical Monthly. 79: 963–972. doi:10.2307/2318066.
• Joseph Ritt, Differential Algebra, AMS, 1950.