Talasna jednačina

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Talasna jednačina je važna linearna parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda koja opisuje prostiranje većine talasa, kao što su zvučni talasi, svjetlosni talasi i vodeni talasi. Koristi se u oblastima kao što su akustika, elektromagnetizam i dinamika fluida. Historijski, problem vibrirajuće žice, kao što je ona na muzičkim instrumentima, proučavao su Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli i Joseph Louis Lagrange.

Puls putuje kroz žicu sa fiksiranim krajevima, što je prikazano talasnom jednačinom.
Sferični talas koji nastaje u tačkastom izvoru.

Uvod[uredi | uredi izvor]

Talasna jednačina je prototipni primjer hiperboličke parcijalne diferencijalne jednačine. U svom najjednostvnijem obliku, talasna jednačina odnosi se na skalarnu funkciju u koja zadovoljava:

gdje je Laplacijan i gdje je c fiksna konstanta jednaka brzini prodiranja talasa. Za zvučni talas u zraku na 20°C, ova konstanta iznosi oko 343 m/s (pogledajte članak brzina zvuka). Za vibracije žice, brzina može varirati široko, u zavisnosti od linearne gustoće žive i zategnutosti iste. Za spiralnu oprugu (slinki) može biti spora i do jednog metra u sekundi. Realističnije diferencijalne jednačine za talas dopuštaju da brzina talasa varira sa frekvencijom talasa, što je fenom poznat pod nazivom disperzija. U takvom slučaju, c mora biti zamijenjeno sa faznom brzinom:

još jedna oubičajana korekcija u realističnim sistemima je da brzina, također, može zavisiti od amplitude talasa, što dovodi do nelinearne talasne jednačine:

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
  • M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
  • R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
  • "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
  • Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]