Skalarni proizvod

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \phi$

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjer

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a₁, a₂, … , a_n] i vektora b = [b₁, b₂, … , b_n] :

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

• gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

${\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.$

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {{\overline {b_{i}}}a_{i}}$

gdje je

${\overline {b_{i}}}$

konjugovano kompleksan broj od $b_{i}$; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}$

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacija

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,$ $\Longrightarrow$ $\theta =\arccos \left({\frac {{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}}}{|{\mathbf {a}}||{\mathbf {b}}|}}\right).$

Dokaz geometrijske intepretacije

Razmotrimo vektor

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} .\,$

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

$v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.\,$

Dobijeno je isto kao i

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2},\,$

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v^{2}.\,$

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

$\mathbf {c} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {a} -\mathbf {b} .\,$

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\,$

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,$                   (1)

Ali pošto je c ≡ a − b, također imamo da je

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\,$,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).\,$                     (2)

Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2), dobijamo

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,$

Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \theta .\,$

Q.E.D.

Također pogledajte

• Vektorski proizvod
• Vektorski zbir