Simetrija

Primjeri simetrije

Simerrija (lijevo) i asimetrija (desno)

Sferna simetrijska grupa sa oktaedarskom simetrijom

Fraktaloliki oblik koji ima reflektivnu i rotacijsku simetriju i samosličnost, tri oblika simetrije. Ovaj oblik se dobija po pravilu konačne podjele.

Simetrija (grč. συμμετρία - simetria = slaganje dimenzija zbog odgovarajućih proporcija i aranžmana), u svakodnevnom poimanju odnosi se na osjećaj skladne i lijepe proporcije i ravnoteže. Naprimjer, Aristotel pripisao je sferni oblik nebeskim tijelima, opisujući ovu formalno definiranu geometrijsku mjeru simetrije prirodnom poretku i savršenstvu kosmosa. U matematici "simetrija" ima precizniju definiciju i obično se koristi za označavanje objekta koji je invarijantan pod nekim transformacijama, uključujući translacije, odraz, rotaciju ili skaliranje. Iako se ova dva značenja "simetrije" ponekad mogu razdvojiti, ona su složeno povezana i stoga se u ovom članku raspravljaju zajedno.

Matematička simetrija može se posmatrati s obzirom na prolazak vremena, kao prostorni odnos, kroz geometrijske transformacije, druge vrste funkcijskih transformacija i kao aspekt apstraktnog objekta, uključujući iteorijske modele, jezik i muzika. Simetrični objekti mogu biti materijalni, poput osobe, kristala, lopti, podne pločice ili molekula, ili može biti apstraktna struktura, kao što je matematička jednadžba ili niz tonova (muzika).

Osna simetrija

Osna simetrija je geometrijsko preslikavanje tačaka $\sigma _{l}:A\to A'$, takvo da je duž $AA'$, koja spaja lik i sliku, okomita na datu pravu l, osu simetrije, i da je $AS=SA$, gde je S tačka presjeka duži $AA'$ i prave l.

Posebno (v. Prof. V.A.Ditkin, Rječnik matematičkih termina, Prosvešćenje, Moskva, 1965.), za simetriju u odnosu na pravu l koja leži u nekoj ravni π možemo reći da je to takva transformacija tačaka ove ravni u istu ravan pri kojoj svaka tačka A prelazi u tačku A' simetričnu s prvom tačkom u odnosu na pravu (slika desno). Prava l se naziva osa simetrije, a simetrija u odnosu na pravu osna simetrija, refleksija, ili ogledanje na pravoj.

Osna simetrija je bijekcija, a također i involuciona transformacija. U osnoj simetriji dužina segmenta ostaje nepromjenjena (invarijantna), orijentacija figure se mijenja u suprotnu, pa je, osna simetrija kretanje druge vrste. Osna simetrija prave transformiše u prave, pri čemu se prave normalne na osu simetrije transformišu u samu sebe, a osa ostaje nepokretna, i to punktualno nepokretna (punktualno invarijantna): svaka njena tačka je dvostruka tačka.

Osna simetrija se koristi u rješavanju zadataka iz geometrijskih konstrukcija, u crtanju grafika parne funkcije, u arhitekturi, u kristalografiji, u dizajniranju tkanina, itd. Proizvod (kompozicija preslikavanja) dvije osne simetrije s paralelnim osima je paralelno prenošenje (translacija), proizvod dvije osne simetrije čije se ose sijeku nije simetrija ni u odnosu na prvu ni u odnosu na drugu osnu simetriju, dakle, množina simetrija u ravni u odnosu na date ose nije zatvorena, odnosno, skup svih osnih simetrija u ravni nije grupa.

Centralna simetrija

Centralna simetrija je geometrijsko preslikavanje tačaka $\sigma _{O}:A\to A'$, takvo da je $AO=OA',\;A-O-A',$, pri čemu je O data nepokretna (fiksna) tačka.

Posebno, simetrija u odnosu na tačku O koja leži u nekoj ravni π je takva transformacija tačaka ove ravni pri kojoj svaka tačka A prelazi u tačku A' simetričnu njoj u odnosu na tačku O. Tačka O se onda naziva centar simetrije, a simetrija u odnosu na tačku centralna simetrija.

Centralna simetrija je bijekcija, involucija i rotacija u ravni za ugao 180 stepeni. Obje, centralna i osna simetrija se primjenjuju u sličnim oblastima.

Proizvod, kompozicija centralnih simetrija je translacija.

Također pogledajte

• Sudoku
• Zlatno pravilo
• M. C. Escher
• Parne i neparne funkcije

Vanjski linkovi

• Nauka 50: Simetrija (RTS Obrazovno-naučni program - Zvanični kanal)