Weierstrassov M-test

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Weierstrassov M-test je analogija testu poređenja za beskonačne redove, a primjenjuje se kod redova čiji su članovi funkcije sa realnim ili kompleksnim vrijednostima.

Pretpostavimo da je \{f_n\} niz realnih ili kompleksnih vrijednosti funkcije definisan u skupu A, te da postoje pozitivne konstante M_n takve da vrijedi

|f_n(x)|\leq M_n

za sve n1 i sve x u A. Pretpostavimo, nadalje, da red

\sum_{n=1}^{\infty} M_n

konvergira. Tada, red

\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)

konvergira uniformno na A.

Općenitija verzija Weierstrassovog M-testa stoji ako je kodomen funkcija \{f_n\} bilo koji Banachov prostor, u čijem slučaju se može iskaz

|f_n|\leq M_n

zamijeniti sa

||f_n||\leq M_n,

gdje je ||\cdot|| oznaka Banachovog prostora. Za primjer upotrebe ovog testa na Banachovom prostoru, pogledajte članak Fréchetova derijacija.


Dokaz
S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}f_{k}(x)

\sum_{n=1}^{\infty}M_{n} konvergira i Mn ≥ 0 za svako n, onda na osnovu Cauchyjevog testa konvergencije

\forall \varepsilon>0 : \exists N : \forall n>m>N : \sum_{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon.

za izabrano N,

\forall x \in A : \forall n> m> N
\left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum_{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|\overset{(1)}{\leq} \sum_{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum_{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .

Ovaj parcijalni zbir reda ravnomjerno konvergira . Po definiciji, reda \sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x) konvergira uniformno.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Rudin, Walter (January 1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8. 
  • Rudin, Walter (May 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1. 
  • Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.