Weierstrassov M-test

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

U matematici, Weierstrassov M-test je analogija testu poređenja za beskonačne redove, a primjenjuje se kod redova čiji su članovi funkcije sa realnim ili kompleksnim vrijednostima.

Pretpostavimo da je niz realnih ili kompleksnih vrijednosti funkcije definisan u skupu , te da postoje pozitivne konstante takve da vrijedi

za sve i sve u . Pretpostavimo, nadalje, da red

konvergira. Tada, red

konvergira uniformno na .

Općenitija verzija Weierstrassovog M-testa stoji ako je kodomen funkcija bilo koji Banachov prostor, u čijem slučaju se može iskaz

zamijeniti sa

,

gdje je oznaka Banachovog prostora. Za primjer upotrebe ovog testa na Banachovom prostoru, pogledajte članak Fréchetova derijacija.

Dokaz

konvergira i Mn ≥ 0 za svako n, onda na osnovu Cauchyjevog testa konvergencije

za izabrano N,

Ovaj parcijalni zbir reda ravnomjerno konvergira . Po definiciji, reda konvergira uniformno.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8. Nepoznat parametar |month= zanemaren (pomoć)
  • Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1. Nepoznat parametar |month= zanemaren (pomoć)
  • Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.