Bernoullijeva jednačina

Bernoullijeva jednačina prikazuje odnos između brzine, pritiska i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih presjeka; porastom brzine tekućine pada njen statički pritisak i obratno. Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u horizontalnom strujanju daje ukupan pritisak, koji je konstantan u svim presjecima. Drugim riječima, Bernoullijeva jednačina predstavlja zakon očuvanja energije, koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.

Odnosno Bernouiiljeva jednačina govori o konstantnosti:

• potencijalne energije ... $\ z+ {p \over \rho g}$
  i
• kinetičke energije ... $\ {v^2 \over 2g}$.

Objašnjenje Bernoullijeve jednačine

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su piezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog pritiska mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj pritiska usljed kretanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Piezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću piezometarske i Pitotove cijevi. Zbir tih visina je konstantna i jednaka H, bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički pritisak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća, iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički pritisak veći, a na mjestima veće brzine manji.

Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koriste u Bernoullijevoj jednačini

ρ – Gustoća - $(kg/m^3)$

S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka - $(m^2)$.

p - statički pritisak - (Pa)

v - brzina - (m/s)

m – masa tekućine - (kg)

R - mehanički rad - (W)

V - volumen mase tekućine - $(m^3)$

• Bernoullijeva jednačina koristi SI sistem jedinica.

• • $\ z$ geodetska visina, odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravan u $\ (m)$
  • $\ p \over \rho g$ piezometarska ili visina pritiska, odnosno visina piezometarskog pritiska koju pokazuje visina stupca tekućine u piezometarskoj cijevi u $\ (m)$
  • $\ {v^2 \over 2g}$ je brzinska visina u $\ (m)$, a brzina $\ v$ predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
  • Ukupan zbir energija daje Bernoullijevu jednačinu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka $S_2$ i statičkog pritiska $p_2$, tekućina dobije veću brzinu $v_2$. Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

$\frac{ m \cdot v_1^2}{2}$

a kad uđe u uži dio:

$\frac{ m \cdot v_2^2}{2}$

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao zbog razlike pritisaka ($p_1-p_2$) $s_1$ pri kretanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = ($p_1-p_2$) $s_1$ ΔS

R= ($p_1-p_2$) V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

($p_1-p_2$) V = $\frac{ m \cdot v_2^2}{2}$ - $\frac{ m \cdot v_1^2}{2}$

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = $\frac {m}{V}$, dobijamo Bernoullijevu jednačinu:

$p_1$ + $\frac{\rho \cdot v_1^2}{2}$ = $p_2$ + $\frac{\rho \cdot v_2^2}{2}$ = $p_3$ + $\frac{\rho \cdot v_3^2}{2}$ = konst.

Izrazi $\frac{\rho \cdot v_1^2}{2}$ , $p_2$ + $\frac{\rho \cdot v_2^2}{2}$ i $p_3$ + $\frac{\rho \cdot v_3^2}{2}$ prikazuju pritisak koji je nastao usljed strujanja tekućine i zove se dinamički pritisak.

Oblik Bernoullijeve jednačine za idealnu tekućinu

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ova jednačina jesu:

1. tekućina je idealna - nestišljiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
2. Stacionarno strujanje

$\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{v^2_2 \over 2g}=H$

• • $\ H$ predstavlja hidrodinamički pritisak ili ukupnu specifičnu energiju u $\ (m)$.

Izvod Bernoullijeve jednačine preko zakona održanja količine kretanja

Bernoullijeva jednačina je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine kretanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod jesu:

1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Izvod Bernoullijeve jednačine preko Eulerovog integrala

Eulerove diferencijalne jednačine kretanja tekućine - implicitni oblik

$\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta x} = X - \frac{d u }{d t }$ ... ... ...(1E)
$\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta y} = Y - \frac{d v }{d t }$ ... ... ...(2E)
$\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta z} = Z - \frac{d W }{d t }$ ... ... ...(3E)

$\ \rho =konst$ - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka:

• imamo stacionarno strujanje

matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i saberemo dobivene jednačine.

$\ \frac{1}{\rho} (\frac{\delta p}{\delta x}dx + \frac{\delta p}{\delta y}dy + \frac{\delta p}{\delta z}dz)=Xdx+Ydy+Zdz - ( du \overbrace{ \frac{d x }{d t }}^{u} + dv \overbrace{ \frac{d y }{d t }}^{v} + dw \overbrace{ \frac{d z }{d t })}^{w}$,

pa dobijemo jednačinu:

$\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{1}{\rho} \delta p - (udu+vdv+wdw)$

možemo derivirati

$\ udu= \frac{1}{2} d u^2$
$\ vdv= \frac{1}{2} d v^2$
$\ wdw= \frac{1}{2} d w^2$

Dakle, sada imamo ovaj oblik jednačine

$\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (u^2+v^2+w^2)$
$\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (W^2)$

• ako imamo strujnu cijev u kojoj djeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sistemu. Možemo pojednostavniti ovako:

$\ X=0, Y=0, Z=-g$
$\ -gdz - \frac{\delta p}{\rho}- \frac{1}{2} d(W^2)=0 ... operacije/ \int / : -g$
I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod Bernoullijeve jednačine:
$\ z+ \frac {p}{\rho g} + \frac {W^2}{2g}= konstanta$

Oblik Bernoullijeve jednačine za realnu tekućinu

$\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{\alpha_1 v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{\alpha_2 v^2_2 \over 2g}+ \Delta H$

• • $\ \Delta H$ je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u $\ (m)$.

Coriolisov koeficijent

Naziva se i koeficijent kinetičke energije $\ \alpha_{1,2}$. On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim tačkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima sljedeće vrijednosti:

• • kod strujanja u cijevima $\alpha=1,0$
  • kod strujanja u otvorenim vodotocima $\alpha=1,1$
  • vrijednost $\alpha$ možemo računati ovom formulom:

$\ \alpha= \frac{ \int_A v^3 dA}{v_{sr}^3A}$ - postavlja se uslov da je $\alpha \geq 1$

Praktična primjena Bernoullieve jednačine

Primjer cijevi pod pritiskom

Cijev pod pritiskom

Znamo: $\ d=konstantno, Q=konstantno -> v=konstantno$.

gubitak pritiska predstavlja razliku piezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: $z_1=z_2$

$\ z_1+ \frac{p_1}{ \rho g}=z_2+ \frac{p_2}{ \rho g} + \Delta H$
$\ \Delta H =(z_1+ \frac{p_1}{ \rho g})-(z_2+ \frac{p_2}{ \rho g})$

Primjer za otvoreni vodotok

Otvoreni vodotok

znamo: ako je strujanje ravnomjerno $\ v=konstantno.$

$\ l_0=l_p=l_e=l$

$\ p_1=p_2=p_{atm}$

• atmosferski pritisak djeluje na površini vodotoka
• u piezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku

linija vodnog lica je pijezometarska linija

Zaključak

$\ p_s + \ p_d = p_u = konst.$

gdje je $\ p_s$ statički pritisak, $\ p_d = \frac{\rho \cdot v^2}{2}$ dinamički pritisak, a $\ p_u$ ukupni pritisak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

• Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednačina služi za proračun brzine, pritiska ili gubitaka kod protoka tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama, tj. fluidima, ova jednačina služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.