Trougao

Trokut

Trougao ili trokut je poligon koji ima tri stranice.

Vrste trouglova

Trouglovi se mogu razlikovati po unutrašnjim uglovima:

Pravougli trougao

Glavni članak: Pravougli trougao

Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.

Obim je

$O=a+b+c$

Površina je

$P={\frac {ab}{2}}={\frac {ch_{c}}{2}}$

Prečnik opisamog kruga  :$R=2t_{c}=c$

Tupougli trougao

Glavni članak: Tupougli trougao

Tupougli trougao ima jedan unutrašnji ugao više od 90 stepeni (tupi ugao).

Oštrougli trougao

Glavni članak: Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manje od 90 stepeni (kosi uglovi).

• 
  Pravougli trougao
• 
  Tupougli trougao
• 
  Oštrougli trougao

Osim uglova, trougli se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:

Jednakostranični trougao

Glavni članak: Jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.

$\alpha =\beta =\gamma =60^{o}$

$a=b=c$

Obim $O=3a$

Površina $P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}$

Visina $h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

Poluprečnik opisanog kruga $R={\frac {2}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$

Poluprečnik upisanog kruga $r={\frac {1}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}$

Jednakokraki trougao

Glavni članak: Jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla. Ima dvije jednake stranice i zovemo ih kraci, treću zovemo osnovica

$\alpha \neq \beta =\gamma$

$a\neq b=c$

Obim $O=a+2b$

Površina je $P={\frac {ah_{a}}{2}}={\frac {bh_{b}}{2}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$

Visina $h_{a}=b^{2}-({\frac {a}{2}})^{2}$

Raznostranični trougao

Glavni članak: Raznostranični trougao

Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također svi različiti.

$\alpha \neq \beta \neq \gamma$

$a\neq b\neq c$

Poluprečnik opisamog kruga $2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

• 
  Jednakostranični trougao
• 
  Jednakokraki trougao
• 
  Raznostranični trougao

Obim trougla

Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.

$O=a+b+c$

Obim jednakokrakog trougla je

$O=a+2b$

Obim istostraničnog trougla je

$O=3a$

Površina

• Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.

P = (b·h)/2,

Grafički prikaz površine trougla

Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): $P=\scriptstyle {\sqrt {(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))}}$ gdje je $s$ poluobim trougla; $s=(a+b+c)/2$

$P={\frac {abc}{4R}}=rs$

$P={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}={\frac {ac\sin \beta }{2}}$

Neka su date koordinate vrhova trougla $A(x_{1},y_{1}$, $B(x_{2},y_{2}$,$C(x_{3},y_{3}$ površina trougla je

$P={\frac {(x_{2}-x_{1})(y_{2}+y_{1})+(x_{3}-x_{2})(y_{3}+y_{2})+(x_{1}-x_{3})(y_{1}+y_{3})}{2}}$

Osobine trouglova (teoreme)

• Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).

$\alpha +\beta +\gamma =180^{o}$.

Zbir spoljašnjih uglova iznosi $360^{o}\,$.

$\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1}=360^{o}$.

Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao

$\alpha _{1}+\alpha =180^{o}$

$\beta _{1}+\beta =180^{o}$

$\gamma _{1}+\gamma =180^{o}$

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna unutrašnja ugla.

$\alpha _{1}=\beta +\gamma$

$\beta _{1}=\alpha +\gamma$

$\gamma _{1}=\alpha +\beta$

• Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

• U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$

Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.

Također pogledajte

• Kosinusni teorem
• Sinusni teorem
• Tangensni teorem
• Pedoeova nejednakost
• Pitagorina teorema
• Pravougli trougao