Razlika između verzija stranice "Trougao"
[pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
Red 136: | Red 136: | ||
:<math> b^2=pq </math> |
:<math> b^2=pq </math> |
||
:<math> {h_c}^2 =pq </math> |
:<math> {h_c}^2 =pq </math> |
||
==Trougao u kompleksnoj ravni== |
|||
Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve. |
|||
Trouglovi <math>A_1A_2A_3</math> i <math>B_1B_2B_3</math> su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je |
|||
<math>\frac{a_2 -a_1}{a_3 - a_1}=\frac{b_2-b_1}{b_2-b_1}</math> |
|||
Dokaz |
|||
<math>\triangle A_1A_2A_3 \sim \triangle B_1B_2B_3</math> pnda i samo onda sko je <math>A_1A_2/A_1A_3=B_1B_2/B_1B_3 </math> |
|||
<math>\begin{vmatrix} |
|||
\frac{a_2 -a_1}{a_3 - a_1} |
|||
\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} |
|||
\frac{b_2 -b_1}{b_3 - b_1} |
|||
\end{vmatrix} </math> i <math>arg \frac{a_2 -a_1}{a_3 - a_1}= arg \frac{b_2-b_1}{b_2-b_1}</math> |
|||
Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa |
|||
<math>\frac{a_2 -a_1}{a_3 - a_1}=\frac{b_2-b_1}{b_2-b_1}</math> |
|||
Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom |
|||
<math> |
|||
\begin{vmatrix} |
|||
1 & 1 & 1 \\ |
|||
a_1 & a_2 & a_3 \\ |
|||
b_1 & b_2 & b_3 |
|||
\end{vmatrix}=0</math> |
|||
Lako je provjeiti da za trouglove <math>A_1(0)</math>, <math>A_2(1)</math>, <math>A_3(2i)</math> i <math>B_1(0), B_2(-i), |
|||
B_3(-2)</math> ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi sledeći stav. |
|||
Verzija na dan 16 septembar 2016 u 20:15
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Vrste trouglova
- Trouglovi se mogu razlikovati po unutrašnjim uglovima:
Pravougli trougao
- Pravougli trougao ima jedan unutrašni ugao od 90 stepeni (pravi ugao). Stranica koja se nalazi nasuprot pravog ugla se naziva hipotenuza, i to je najduža stranica u pravouglom trouglu. Druge dvije stranice se zovu katete.
- Obim je
- Površina je
Prečnik opisamog kruga :
Tupougli trougao
Tupougli trougao ima jedan unutrašnji ugao više od 90 stepeni (tupi ugao).
Oštrougli trougao
Oštrougli trougao ima sva tri unutrašnja ugla manje od 90 stepeni (kosi uglovi).
-
Pravougli trougao
-
Tupougli trougao
-
Oštrougli trougao
Osim uglova, trougli se mogu razlikovati po dužini i međusobnom odnosu njihovih stranica:
Jednakostranični trougao
Jednakostranični trougao je trougao u kojem sve tri stranice imaju istu dužinu. Jednakostranični trougao također ima tri potpuno ista ugla od po 60 stepeni.
- Obim
- Površina
- Visina
- Poluprečnik opisanog kruga
- Poluprečnik upisanog kruga
Jednakokraki trougao
Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice iste dužine, dok je treća stranica kraća ili duža od druge dvije. Jednakokraki trougao ima također dva identična unutrašnja ugla. Ima dvije jednake stranice i zovemo ih kraci, treću zovemo osnovica
- Obim
- Površina je
- Visina
Raznostranični trougao
Raznostranični trougao ima sve tri stranice različite dužine. Unutrašnji uglovi raznostraničnog trougla su također svi različiti.
- Poluprečnik opisamog kruga
-
Jednakostranični trougao
-
Jednakokraki trougao
-
Raznostranični trougao
Obim trougla
Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.
Obim jednakokrakog trougla je
Obim istostraničnog trougla je
Površina
- Površina trougla P se računa tako što se osnovica (baza) b pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) h i rezultat se podijeli sa dva.
- P = (b·h)/2,
Površinu P možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): gdje je poluobim trougla;
- Neka su date koordinate vrhova trougla , , površina trougla je
Osobine trouglova (teoreme)
- Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).
- .
- Zbir spoljašnjih uglova iznosi .
- .
- Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
- Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna unutrašnja ugla.
- Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom c i katetama a i b i glasi:
- U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
Značajne tačke trougla
- Centar opisane kružnice trougla nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je
- Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.
- Centar upisane kružnice trougla nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je
- Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla
- Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla
Sličnost trougla
- Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.
- Dva trougla su slična ako su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
- ; :
- Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična
- ; <
- Ako se stranice dva slična trougla odnose kao : tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :, a površine se odnose kao :.
- Ako je dužina hipotenuze onda primjena sličnosti na pravougli trougao imamo
Trougao u kompleksnoj ravni
Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.
Trouglovi i su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je
Dokaz
pnda i samo onda sko je
i
Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa
Ovaj uslov je ekvivalentan sa uslovom
Lako je provjeiti da za trouglove , , i ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi sledeći stav.
Nedovršeni članak Trougao koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.
Također pogledajte
- Kosinusni teorem
- Sinusni teorem
- Tangensni teorem
- Pedoeova nejednakost
- Pitagorina teorema
- Pravougli trougao
Commons ima datoteke na temu: Trougao |