Nejednakost

Ovaj članak govori o nejednakostima u matematici. Za druga značenja, pogledajte članak nejednakost (čvor).

Za članak o nejednakim iskazima, pogledajte članak Nejednačina.

Grafika rješenja sistema lineranih nejednakosti.

U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti lil nisu (Također pogledajte: jednakost)

• Oznaka a < b znači da je a manje od b.
• Oznaka a > b znači da je a veće od b.
• Oznaka a ≠ b znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.

U svim ovim slučajevima, a nije jednakosa b, pa imamo, "nejednakost".

Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti

• Oznaka a ≤ b znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b);
• Oznaka a ≥ b znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);

Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.

• Oznaka a ≪ b znači da je a mnogo manje od b.
• Oznaka a ≫ b znači da je a mnogo veće od b.

Ako je smisao nejednosti isti za sve vrijednosti varijabli za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva "apsolutnom" ili "bezuslovnom" nejednakosšću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrijednosti varijabli, ali je suprotna ili se poništava za druge vrijednosti tih varijabli, tada se to naziva "uslovna nejednakost".

Osobine

Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti (< i >) zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

Trihotomija

Osobina trihotomije kaže da je:

• Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od slijedećeg, je tačno:
  • a < b
  • a = b
  • a > b

Tranzitivnost

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

• Za sve realne brojeve, a, b, c:
  • Ako je a > b i b > c; tada je a > c
  • Ako je a < b i b < c; tada je a < c
  • Ako je a > b i b = c; tada je a > c
  • Ako je a < b i b = c; tada je a < c

Sabiranje i oduzimanje

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

• Za sve realne brojeve, a, b, c:
  • Ako je a < b, tada je a + c < b + c i a − c < b − c
  • Ako je a > b, tada je a + c > b + c i a − c > b − c

Množenje i dijeljenje

Osobine vezane za množenje i dijeljenje kažu da je:

• Za sve realne brojeve, a, b, c:
  • Ako je c pozitivan i a < b, tada je ac < bc
  • Ako je c negativan i a < b, tada je ac > bc

Inverz sabiranja

Osobine za inverz sabiranja kažu da je:

• Za sve realne brojeve a i b
  • Ako je a < b, tada je −a > −b
  • Ako je a > b, tada je −a < −b

Inverz množenja

Osobine za inverz množenja kažu da je:

• Za sve realne brojeve a i b, koji su ili oba pozitivni ili oba negativni
  • Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
  • Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b

Nejednakosti između srednjih vrijednosti

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrijednosti. Na primjer, za bilo koje pozitivne brojeve a₁, a₂, …, a_n, imamo da je H ≤ G ≤ A ≤ Q, gdje je

$H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}$	(harmonijska sredina),
$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$	(geometrijska sredina),
$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$	(aritmetička sredina),
$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$	(kvadratna sredina).

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine

$An(a,w)={\frac {w_{1}a_{1}+...+w_{n}a_{n}}{w_{1}+...+w_{n}}}$

i geometrijske sredine

$Gn(a,w)=(a_{1}w_{1}a_{2}w_{2}...a_{n}w_{n})^{1/W_{n}}$

za $a=(a_{1},...,a_{n})$ i $w=(w_{1},...,w_{n})$ uređene n-torke pozitivnih brojeva i $W_{n}=w_{1}+...+w_{n}$.

Teorem (AG nejednakost)

Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi $A_{n}(a,w)\geq G_{n}(a,w)$. Jednakost se postiže ako i samo ako je $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$.

Teorem (AG nejednakost za tri pozitivna broja).

Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

${\frac {a+b+c}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{abc}}$

Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine

Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

$G_{n}(a)\geq H_{n}(a)$ Dokaz

${\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}$

Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve ${\frac {1}{a_{1}}}$, ${\frac {1}{a_{2}}}$...${\frac {1}{a_{n}}}$ dobijamo

${\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}{\frac {1}{a_{2}}}...{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}$

${\sqrt[{n}]{(a_{1}a_{2}...a_{n})^{-1}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}$

${\sqrt[{n}]{(a_{1}a_{2}...a_{n})^{-1}}}\leq ({\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}})^{-1}$

$(a_{1}a_{2}...a_{n})^{1/n}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}$

Jednakost vrijedi ako i samo ako je ${\frac {1}{a_{1}}}=...={\frac {1}{a_{n}}}$

Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine

Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

$A_{n}(a)\leq K_{n}(a)$

Dokaz

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2}+2a-1a-2+2a_{2}a_{3}+...+a_{n-1}a_{n}$

znamo

$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\geq 2a_{1}a_{2}$ za $\forall a_{1},a_{2}\in R$

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})+(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+..+(a_{n-1}^{2}+a_{n}^{2})\leq n(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})$

Izrazi na obe strane su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\leq {\sqrt {n(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})}}$

${\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})}{n}}}$

Jednakost vrijedi ako i samo ako je $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Nejednakosti stepena

Ponekad sa oznakom "stepena nejednakost" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa a^b, gdje su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.

Primjeri

• Ako je x > 0, tada je

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{1/e}.\,$

• Ako je x > 0, tada je

$x^{x^{x}}\geq x.\,$

• Ako je x, y, z > 0, tada je

$(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2.\,$

• Za bilo koja dva različita broj a i b,

${\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.$

• Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je

$(x+y)^{p}<x^{p}+y^{p}.\,$

• Ako je x, y, z > 0, tada je

$x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,$

• Ako je a, b > 0, tada je

$a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.\,$

• Ako je a, b > 0, tada je

$a^{b}+b^{a}>1.\,$

Ovaj rezultat uopćio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a₁, ..., a_n, tada je

$a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1$

(rezultat je objevljen u latvijskom naučnom časopisu Zvjezdano nebo; pogledajte reference).

Dobro poznate nejednakosti

Glavni članak: Spisak nejednakosti

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

• Azumaova nejednakost
• Bernoulliova nejednakost
• Booleova nejednakost
• Cauchy–Schwarzova nejednakost
• Chebysheva nejednakost
• Chernoffova nejednakost
• Cramér-Raova nejednakost
• Hoeffdingova nejednakost
• Hölderova nejednakost
• Nejednakost aritmetičkih i geometrijskih sredina
• Jensenova nejednakost
• Kolgomorova nejednakost
• Markova nejednakost
• Minkowskijeva nejednakost
• Nesbittova nejednakost
• Pedoeova nejednakost
• Nejednakost trougla

Također pogledajte

• Binarna relacija
• Zagrada za upotrebu znakova < i > kao zagrada
• Fourier-Motzkinova eliminacija
• Nejednačina
• Interval (matematika)
• Djelimično uređen skup
• Operator relacije, koristi se u programskim jezicima kako bi se označila nejednakost

Reference

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Murray S. Klamkin. ""Quickie" inequalities" (PDF). Math Strategies. Arhivirano s originala (PDF), 28. 1. 2004. Pristupljeno 18. 2. 2009.
• Harold Shapiro (missingdate). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan.
• "3rd USAMO". Arhivirano s originala, 3. 2. 2008. Pristupljeno 18. 2. 2009.
• "The Starry Sky". Arhivirano s originala, 21. 12. 2008. Pristupljeno 18. 2. 2009.
• Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.

Vanjski linkovi

• interaktivne linearne nejednakosti i grfikoni na www.mathwarehouse.com
• Solving Nejednakosti
• WebGraphing.com – kalkulator za crtanje grafika nejednakosti.
• Grafik nejednakosti od Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project.
• http://e.math.hr/agnejednakost/index.html
• NEJEDNAKOSTI IZMEĐU OSNOVNIH SREDINA