Nejednakost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Ovaj članak govori o nejednakostima u matematici. Za druga značenja, pogledajte članak nejednakost (čvor).
Za članak o nejednakim iskazima, pogledajte članak Nejednačina.
Grafika rješenja sistema lineranih nejednakosti.

U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti lil nisu (Također pogledajte: jednakost)

  • Oznaka a < b znači da je a manje od b.
  • Oznaka a > b znači da je a veće od b.
  • Oznaka ab znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.

U svim ovim slučajevima, a nije jednakosa b, pa imamo, "nejednalpst".

Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti

  • Oznaka ab znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b);
  • Oznaka ab znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);

Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.

  • Oznaka a b znači da je a mnogo manje od b.
  • Oznaka a b znači da je a mnogo veće od b.

Ako je smisao nejednosti isti za sve vrijednosti varijabli za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva "apsolutnom" ili "bezuslovnom" nejednakosšću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrijednosti varijabli, ali je suprotna ili se poništava za druge vrijednosti tih varijabli, tada se to naziva "uslovna nejednakost".

Osobine[uredi | uredi izvor]

Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti (< i >) zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

Trihotomija[uredi | uredi izvor]

Osobina trihotomije kaže da je:

  • Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od slijedećeg, je tačno:
    • a < b
    • a = b
    • a > b

Tranzitivnost[uredi | uredi izvor]

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

    • Ako je a > b i b > c; tada je a > c
    • Ako je a < b i b < c; tada je a < c
    • Ako je a > b i b = c; tada je a > c
    • Ako je a < b i b = c; tada je a < c

Sabiranje i oduzimanje[uredi | uredi izvor]

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

    • Ako je a < b, tada je a + c < b + c i ac < bc
    • Ako je a > b, tada je a + c > b + c i ac > bc

Množenje i dijeljenje[uredi | uredi izvor]

Osobine vezane za množenje i dijeljenje kažu da je:

Inverz sabiranja[uredi | uredi izvor]

Osobine za inverz sabiranja kažu da je:

  • Za sve realne brojeve a i b
    • Ako je a < b, tada je −a > −b
    • Ako je a > b, tada je −a < −b

Inverz množenja[uredi | uredi izvor]

Osobine za inverz množenja kažu da je:

    • Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
    • Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b

Nejednakosti između srednjih vrijednosti[uredi | uredi izvor]

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrijednosti. Na primjer, za bilo koje pozitivne brojeve a1, a2, …, an, imamo da je HGAQ, gdje je

(harmonijska sredina),
(geometrijska sredina),
(aritmetička sredina),
(kvadratna sredina).

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine[uredi | uredi izvor]

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine

i geometrijske sredine

za i uređene n-torke pozitivnih brojeva i .

Teorem (AG nejednakost)

Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi . Jednakost se postiže ako i samo ako je .

Dokazi[uredi | uredi izvor]

Prvo razmatrajmo algebarski dokaz nejednakosti

Dokaz 1

Pismatrajmo nekoliko geometrijskih dokaza nejednakosti

Dokaz 2

Kvadrat12gif.gif

Veći kvadrat ima stranicu duljine i njegova je površina veća od površine četiriju pravougaonika sa stranicama a i b.

Imamo

Jednakost se postiže ako i samo ako je površina velikog kvadrata jednaka površini četiriju pravougaonika, odnosno ako i samo ako kvadrat u sredini figure iščezava, a to se događa ako i samo ako je .

Dokaz 3

Kružnica1.gif

U pravouglom trouglu s hipotenuzom visina dijeli hipotenuzu na odsječke i dužina a i b. Prema Euklidovoj teoremi, dužina visine na hipotenuzu jednaka je geometrijskoj sredini njenih dužina odsječaka na hipotenuzi, tj.

S druge strane, poluprečnik kružnice opisane oko trougla jednak je polovini dužine hipotenuze, tj.

Budući da je u pravouglom trouglu hipotenuza duža od katete , slijedi nejednakost

Jednakost se postiže ako i samo ako trougao degenerira u dužinu , tj. ako i samo ako se težišnica podudara s visinom . To se događa ako i samo ako je trougao odnosno ako i samo ako su odsječci visine na hipotenuzi jednake dužine

Dokaz 4

Kvadrat1.gif

Kvadrat ABCD ima stranicu dužine , a pravougaonik ABFE ima stranice dužina i , . Sad imamo

Dokaz 5

Kružnica.gif

Neka su date kružnice središta O i S te poluprečnoci i koje se diraju izvana i neka je AB zajednička vanjska tangenta tih dviju kružnica. Tačke A i B su dirališta tangente i kružnica. Trapez ima dva prava ugla pri vrhovima A i B. Neka je dužina paralelna s . Tada je trougao OMS pravougli.

Hipotenuza OS ima dužinu , a kateta OM ima dužinu . Prema Pitagorinoj teorimi imamo

.

Kako je u pravouglom trouglu hipotenuza duža od katete, slijedi valjanost nejednakosti .

Dokaz 6

Kružnica2.gif

Neka je data kružnica s poluprečnikom AB dužine i središtem O. Tačka D nalazi se na pravoj kroz A i B tako da je i tačka B je između tačaka A i D. Tada je . Iz tačke D povučena je tangenta na kružnicu. Tačka T je diralište te tangente i kružnice. U pravouglom trouglu hipotenuza ima dužinu , a dužinu katete možemo izračunati pomoću Pitagorina teoreme:

Kako je hipotenuza duža od katete, vrijedi nejednakost.

Na ovoj slici pojavljuje se nejednakost kvadratne i harmonijske sredine. Ako je CO poluprečnik okomit na pročnik AB, tada dužina hipotenuze CD iznosi .

Ovaj se izraz naziva kvadratnom sredinom brojeva a i b. Nadalje, ako je N nožište visine iz vrha T u pravouglom trouglu OTD, tada iz sličnosti trougla TND i OTD slijedi , tj.

Ovaj se izraz naziva harmonijskom sredinom brojeva a i b. Sa slike je , tj. sredine rastu ovim redom: harmonijska, geometrijska, aritmetička i kvadratna. Ova se činjenica generalizira na sredine definisane pomoću opšte potencije.

Sljedeća dva dokaza pripadaju grupi analitičkih dokaza AG nejednakosti.

Dokaz 7

Eksponencijalna funkcija.gif


Funkcija je konveksna, što geometrijski znači da je grafik funkcije između dviju tačaka grafika uvijek ispod tetive koja spaja te dvije tačke. Na grafiku eksponencijalne funkcije odaberimo dvije tačke s koordinatama i te uvedimo oznake i .

Prava kroz odabrane tačke ima jednačinu

,

pa tačka na toj pravojs apscisom ima ordinatu . S druge strane, tačka s istom apscisom, ali na grafiku eksponencijalne funkcije ima ordinatu , što nakon sređivanja postaje .

Tačka na grafiku nalazi ispod tačke na tetivi, slijedi AG nejednakost.

Dokaz 8

Hiperbola1.gif

Posmatrajmo hiperbolu . Tačke i pripadaju toj hiperboli. Prava koja prolazi kroz te dvije tačke ima jednačinu .

Presjek hiperbole i tetive PQ s pravom . Na hiperboli je presjek tačka G s koordinatama , a na tetivi tačka A s koordinatama Tačka G je ispod tačke A pa zbog konveksnosti funkcije čija je hiperbola grafik, slijedi AG nejednakost.

Teorema(AG nejednakost za četiri pozitivna broja).

Neka su a, b, c, d pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

Dokaz

Jednakost vrijedi ako i samo ako je i , , odnosno a

Teorem (AG nejednakost za tri pozitivna broja).

Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

Dokaz Neka su i neka je

.

Tada je prema teoremi (AG nejednakost za četiri pozitivna broja)

tj

tj

dijeljenjem sa dobijamo

odnosno

Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine[uredi | uredi izvor]

Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

Dokaz

Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve , ... dobijamo

Jednakost vrijedi ako i samo ako je

Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine[uredi | uredi izvor]

Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

Dokaz

znamo

za

Izrazi na obe strane su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do

Jednakost vrijedi ako i samo ako je

Nejednakosti stepena[uredi | uredi izvor]

Ponekad sa oznakom "stepena nejednakost" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa ab, gdje su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

  • Ako je x > 0, tada je
  • Ako je x > 0, tada je
  • Ako je x, y, z > 0, tada je
  • Za bilo koja dva različita broj a i b,
  • Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je
  • Ako je x, y, z > 0, tada je
  • Ako je a, b > 0, tada je
  • Ako je a, b > 0, tada je
Ovaj rezultat uopćio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a1, ..., an, tada je
(rezultat je objevljen u latvijskom naučnom časopisu Zvjezdano nebo; pogledajte reference).

Dobro poznate nejednakosti[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Spisak nejednakosti

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]