Poliedar

Poliedar je geometrijsko tijelo ograničeno sa ravnim pločama odnosno višeugaonim poligonima. Duži u kojima se sastaju dvije susjedne strane poliedra nazivamo ivice poliedra, a tačke u kojima se sastaju susjedne ivice su vrhovi poliedra. Prostorna dijagonala poliedra je duž koja spaja dva vrha koji ne leže na jednoj stranici poliedra.

Ako sve prostorne dijagonale poliedra leže unutar tog poliedra onda je on konveksan.

Svaki konveksni poliedar je presjek konačnog broja poluprostora.

Eulerova formula

Za svaki konveksan poliedar vrijedi

$v-b+s=2$

gdje je $v$ broj njegovih vrhova, $b$ broj ivica, a $s$ broj strana

Vrste poliedara

Prizma

Neka su u dvjema različitim paralelnim ravnima data dva međusobno podudarna poligona sa paralelnim odgovarajućim stranicama. Poliedar određen tim poligonima i spojnicama odgovarajućih vrhova tih poligona naziva se prizma.

Ta se dva poligona zovu baze (osnove) prizme, a spojnice odgovarajućih vrhova (sve su međusobno paralelne i podudarne) zovu se bočne ivice prizme. Dvije susjedne bočne ivice i dvije odgovarajuće ivice baze čine paralelogram kojeg nazivamo strana prizme. Sve strane prizme čine njen omotač.

Dužina koja spaja dva vrha prizme koji ne leže na istoj strani naziva se prostorna dijagonala prizme. Ako je baza prizme trougao (odnosno četverougao, petougao, . . . ), govorimo o trougloj (odnosno četverougloj, petougloj, . . . ) ili trostranoj (odnosno četverostranoj, peterostranoj, . . . ) prizmi. Uočimo da trougaona prizma ima pet strana: dvije osnovice i tri strane.

Prizma kojoj su bočne ivice normalne na ravan baze naziva se uspravna prizma, inače se naziva kosa prizma.

Ivice uspravne prizme jednake su njenoj visini, a strane uspravne prizme su pravougaonici.

Uspravna prizma kojoj su baze pravilni poligoni naziva se pravilna prizma. Njene strane su međusobno podudarni pravougaonici.

Prizma kojoj su baze paralelogrami naziva se paralelepiped. Iz ove definicije slijedi da su sve strane paralelepipeda(ima ih šest) paralelogrami. Uspravni paralelepiped kojem su baze pravokugaonici naziva se pravokugaoni paralelepiped (kvadar).

Pravougli paralelepiped kojem su sve ivice jednake zove se kocka.

Piramida

• 
  piramida

Neka su zadani konveksni n-terougao $A_{1}A_{2}...A_{n}$ u ravni $\alpha$ i tačka V koja ne leži u $\alpha$.

Poliedar određen tim n-terouglom i spojnicama tačke V s vrhovima tog n-terougla naziva se (n-terostrana ) piramida (za $n=3$ trostrana piramida, za $n=4$ četverostrana piramida, . . . ). Mnogougao $A_{1}A_{2}...A_{n}$ naziva se baza (osnovica) piramide, tačke $A_{1}$, $A_{2}$ ... $A_{n}$ su vrhovi baze, a tačka V vrh piramide. Stranice n-terougla $A_{1}A_{2}...A_{n}$ zovu se ivice baze, a spojnice vrha V s vrhovima baze zovu se bočne ivice piramide. Trougao koji se sastoji od ivica baze i dvje odgovarajuće bočne ivice naziva se strana piramide. Sve strane piramide čine njen omotač.

Spojnica vrha V i njegove normalne projekcije na ravan $\alpha$ naziva se visina piramide.

Za piramidu kažemo da je uspravna ako je normalna projekcija vrha piramide središte baze (taj pojam ima smisla npr. kada je baza pravilni mnogougaonik ili pravougaonik).

Kažemo da je piramida pravilna ako je uspravna, a baza joj je pravilni mnogougao

Trostrana piramida naziva se tetraedar. Baza, ali i sve tri strane tetraedra su trouglovi.

Bilo koji od ta četiri trougla može se uzeti za bazu piramide.

Piramidu presjecimo s ravni $\alpha _{2}$ koja je paralelna ravni njene baze $\alpha _{1}$, tako da u ravni $\alpha _{2}$ dobijemo mnogougao koji je sličan bazi te piramide. Dio posmatrane piramide omeđen ravnima $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$ je krnja piramida. Njene baze su mnogouglovi u tim dvjema ravnima. Njene strane su trapezi. Krnja piramida nije piramida.

Površina poliedra

Površina geometrijskog tijela je ukupna površina svih ploha koje ga omeđuju. Površina poliedra je zbir površina svih njegovih strana.

Prizma

B – površina baze

P – površina strane,

o –obim baze

v – dužina visine

$P==2B+P$

Za uspravnu prizmu vrijedi

$P=2B+ov.$

Piramida

B – površina baze

P – površina strane

v – dužina visine

$P=B+P$

Krnja piramida

$B_{1}$, $B_{2}$ – povrsine baza

P – površina strana

v – dužina visine

$P=B_{1}+B_{2}+P$

Volumen

Volumen geometrijskog tijela je mjera prostora kojeg tijelo zauzima.

Prizma

$V=Bv$

Piramida

$V={\frac {1}{3}}Bv$

Krnja piramida

$V={\frac {v}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})$

Pravilni poliedri

Pravilni poliedri su poliedri kome su stranice pravilni mnogougaonici.

Vrste poliedara

Postoji 5 vrsta pravilnih konveksnih poliedara

• Tetraedar

Stranice mu čini 4 trougla, ima 8 bridova i 4 vrha

• Heksaedar (kocka)

Stranice mu čini 6 kvadrata, ima 12 bridova i 8 vrhova

• Oktaedar

Stranice mu čini 8 trouglova, ima 12 bridova i 8 vrhova

• Dodekaedar

Stranice mu čini 12 petouglova, ima 30 bridova i 20 vrhova

• Ikosaedar

Stranice mu čini 20 trouglova, ima 30 bridova i 12 vrhova

Kocka

Kocka je je pravilna četverostrana prizma. Spada u paralelepipede. Sastoji se od šest podudarnih kvadrata, njenih strana. Ima 12 ivica i 8 vrhova.

Formule

Zapremina $V=a^{3}$

Površina $P=6a^{2}$

Manja dijagonala $d=a{\sqrt {2}}$

Prostorna dijagonala $D=a{\sqrt {3}}$

Radijus upisane sfere $r_{u}={\frac {a}{2}}$

Radijus opisane sfere $r_{o}={\frac {{\sqrt {3}}a}{2}}$

Oktaedar

Oktaedar je geometrijsko tijelo omeđeno sa osam međusobno podudarnih površi koje imaju oblik jednakostraničnih trouglova i raspoređene su tako da tijelo ima dvanaest ivica i šest tjemena.

Oktaedar se još može opisati i kao jednakostranična četvrostrana bipiramida i kao jednakostranična linearna antiprizma.

Formule

Zapremina $V={\frac {\sqrt {2}}{3}}a^{3}$

Površina $P=2{\sqrt {3}}a^{2}$</math>

Poluprečnik upisane sfere $r_{u}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a$

Poluprečnik opisane sfere $r_{o}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a$

Ikosaedar

Ikosaedar je omeđen sa dvadeset međusobno podudarnih površi koje imaju oblik jednakostraničnih trouglova. Raspoređene su tako da tijelo ima trideset ivica i dvanaest tjemena.

Formule

1. Površina $P=5{\sqrt {3}}a^{2}$
2. Zapremina$V={\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a^{3}$
3. Poluprečnik upisane sfere $r_{u}={\frac {a}{12}}{\sqrt {3}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)$
4. Poluprečnik upisane sfere$r_{o}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$

Dodekaedar

Dodekaedar je geometrijsko tijelo omeđeno sa dvanest međusobno podudarnih površi koje imaju oblik

Formule

Površina $P=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,a^{2}$

Zapremina $V={\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}$

Poluprečnik upisane sfere |$r_{u}={\frac {\sqrt {5}}{20}}{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\,a$

Poluprečnik opisane sfere $r_{o}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\,a$

Tetraedar

Tetraedar je geometrijsko tijelo koga ograničavaju četiri trougaone površi i, koje zajedno sa dijelom prostora koga omeđuju jednoznačno formiraju tijelo sa četiri tjemena i šest ivica.

Naziv se u koristi za pravilni tetraedar, kod koga su ove četiri površi podudarni jednakostranični trouglovi.

Formule

Površina $P={\sqrt {3}}a^{2}$

Zapremina $V={\begin{matrix}{1 \over 12}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}$

Poluprečnik opisane sfere $r_{o}\,=\,{\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a\approx 0{,}61\,a$

Poluprečnik upisane sfere $r_{u}\,=\,{\frac {\sqrt {6}}{12}}\,a\approx 0{,}20\,a$

Visina $h=r_{o}+r_{u}\,=\,{\frac {\sqrt {6}}{3}}\,a\,=\,{\sqrt {\frac {2}{3}}}\,a\approx 0{,}82\,a$

Ugao između ivice i površi $arctg{\sqrt {2}}\approx 55^{\circ }$

Ugao između dvije površi $\arccos {1/3}=arctg2{\sqrt {2}}\approx 71^{\circ }$

Polupravilni poliedri

Pappus iz Aleksandrije u svom radu Sinagoga (sakupljanje, sabira) naveo trinaest tijela koja se zovu polupravilni ili Arhimedovi poliedri

Johannes Kepler je pisao o takvim poliedrima u svojoj knjizi Harmonices mundi.

Eulerovu formulu mozemo koristiti pri proučavanju polupravilnih poliedara.

Polupravilni poliedri imaju za strane pravilne mnogouglove ali dvije različite vrste.

Npr. nogometna lopta sastoji se od pravilnih petouglova i šesteuglova

U svakom vrhu sastaju se jedan petougao i dva šestougla.

Odredit ćemo broj vrhova nogometne lopte. Označimo ukupan broj petougaonih strana sa m, a ukupan broj šestougaonih sa n.

$S=m+n=B={\frac {5m+6n}{2}}$

$V={\frac {5m+6n}{3}}$

Iz Eulerove formule slijedi $m+n=12$

Kako svaki vrh pripada tačno jednom petouglu, ukupan broj vrhova je $5m=60$

U svakom vrhu sastaju dva šestougla, broj vrhova jednak je i ${\frac {6n}{2}}=3n$

$n=20$

Dakle nogometna lopta ima 12 petougaonih i 20 šestougaonih strana, 60 vrhova i 90 ivica.

Antiprizma

Zapremina

$V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}\;a^{3}$.

Površina

$P={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.$

Podjela Arhimedovih tijela

I grupa

Pet poliedara ove grupacije nastaje odsijecanjem vrhova Platonovih tijela te čini grupu krnjih poliedara

Krnji tetraedar	(3,6,6)
Krnji heksaedar	(3,8,8)
Krnji oktaedar	(4,6,6)
Krnji dodekaeda	(3,10,10)
Krnji ikosaedar	(5,6,6)

II grupa

Grupa od četiri polupravilna poliedra jednostavno se može povezati s kockom i oktaedrom. Naziva se grupa kubokta poliedara.

Kuboktaedar	(3,4,3,4)
Rombokuboktaedar	((3,4,4,4
Veliki rombokuboktaedar	(4,6,8)
Skošena kocka	((3,3,3,3,4)

III grupa

Ova grupa od četiri polupravilna poliedra može se povezati s dodekaedrom i ikosaedrom. Naziva se grupa ikosadodeka poliedara

Ikosadodekaedar	(3,5,3,5)
Rombikosadodekaedar	((3,4,5,4
Veliki rombikosadodekaedar	(4,6,10)
Skošeni dodekaedar	((3,3,3,3,5)

U novije vrijeme raspravlja se o još jednom polupravilnom konveksnom poliedru koji nastaje zakretanjem jedne kalote (kape ) rombokuboktaedra. Poznat je pod nazivom pseudo–rombokuboktaedar.

Osobina enantiomorfizma

Zanimljivu osobinu imaju skošena kocka (Cubus Simus) i skošeni dodekaedar (Dodecaedron simum) To su jedina Arhimedova tijela koja ne posjeduju ravan simetrije i nemaju središte simetrije. Svako od ovih dvaju tijela javlja se u dvije forme koje se razlikuju po svojim orijentacijama. Za figure s ovim sosobinama kažemo dasu enantiomorfne figure, odnosno figure čija slika u ogledalu nije identična originalnoj slici

Poliedri u višedimenzionalnom prostoru

Eulerovu formulu možemo poopštiti za višedimenzionalne prostore.

Sa $N_{0}$ označimo broj vrhova, a sa $N_{1}$ broj ivica

Sa N_k označimo broj k-dimenzionalnih strana n-dimenzionalnog politopa

onda vrijedi sljedeće

$\textstyle \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}*N_{k}=1+(-1)^{n}$

Za parne dimenzije (2,4,6,...) iznosi 0 (nula)

Za neparne dimenzije (3,5,7,...) iznosi 2

Simpleks je analogon trougla i tetraedra. Simpleks sa 5 vrhova A,B,C,D,E, je četverodimenzionalno tijelo koje ima 10 ivica AB, AC,..., 10 dvodimenzionalnih strana, 5 trodimenzionalnih strana pa je $5-10+10-5=0$

Hiperkocka ima 16 vrhova, 32 ivice, 24 dvodimenzionalne strane i 8 trodimenzionalnih strana $16-32+24-8=0$

Također pogledajte

• M. C. Escher

Reference

1. POLUPRAVILNI POLIEDRI
2. Stereometrija