Kubni korijen

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Grafik flunkcije y = za . Cijeli grafik je simetričan u odnosu na ishodište koordinatnog sistema, te je to neparna funkcija. U x = 0 ovaj grafik ima vertikalnu tangentu.

U matematici, kubni korijen broja, u oznaci ili x1/3, je broj a, takav da vrijedi a3 = x. Svi realni brojevi imaju tačno jedan realan kubni korijen i par konjugovano kompleksnih korijena, a svi kompleksni brojevi, različiti od nule, imaju tri različita komleksna kubna korijena. Naprimjer, realan kubni korijen od 8 je 2, jer je 23 = 8. Svi kubni korijeni od −27i su

Operacija kubnog korjenovanja nije asocijativna ili distributivna sa sabiranjem ili oduzimanjem.

Operacija kubnog korjenovanja je asocijativna sa eksponencijacijom i distributivna sa množenjem i dijeljenjem ako se razmatraju samo realni brojevi, ali ne uvijek ako se razmatraju kompleksni brojevi, naprimjer:

ali

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

Kubni korijen broja x su brojevi y koji zadovoljavaju jednačinu

Kubni korjen i parabola[uredi | uredi izvor]

Kada se suočimo sa jednačinama trećeg stepena, nastaju mnogo veći problemi nego što je to slučaj sa kvadratnim jednačinama. Jasno je da nikakvim dopunama do kvadrata ne možemo naći korjene kubnih jednačina, pa je zato neophodno da pribjegnemo drugačijim rješenjima.

Izlaz za ovaj problem nude nam konusni presjeci kao što su parabola i (pravougaona) hiperbola. Kao dovoljno ilustrativan primjer konstrukcije konusnog presjeka, konstruisaćemo parabolu, a zatim kubni korjen. Konstrukcija kubnog korjena zasniva se na osobini koju su uočili jos grčki matematičari.

Za imamo

i

Ako su i peomjenljive, i konstante imamo jednacine

Možemo smatrati jednačinama dvije parabole ćije su ose normalne, a tjeme im je u istoj tački. Na ove činjenice treba dobro obratiti pažnju da bi bila jasna konstrukcija kubnog korjena.

Al-Hajam je prihvatio grčki postupak konstruisanja parabole. Naime, ako je AB duž, tada je parabola sa tjemenom B i parametrom takva kriva za koju, ako tačka pripada krivoj , za pravougaonik CDBE važi:

Kako su Dekartove koordinate tačke zaista , ova je jednakost vrlo bliska kanonskoj jednačini parabole:

Konstrukciju parabole, koristimo za konstrukciju kubnog korjena, a za konstrukciju tačaka parabole konstrukciju kvadratnog korjena.

Sada možemo da razmotrimo samu konstrukciju kubnog korjena

. Neka je b proizvoljan pozitivan broj ili dužina duži i označimo ga .

Konstruišimo tačku C takvu da je normala na u tacki B i . Prema navedenoj konstrukciji, konstruišimo parabolu sa tjemenom B i parametrom AB, kao i parabolu sa istim tjemenom i parametrom . Označimo sa E presjek tih dviju krivi i konstruišimo pravougaonik . Tada je:

Za i imamo

Izvor[uredi | uredi izvor]

Arapski matematičari: GEOMETRIJSKA ALGEBRA

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]