Razlika između verzija stranice "Limes (matematika)"
[pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
m r2.7.1) (robot dodaje: am:ጥግ |
m r2.6.3) (robot dodaje: simple:Limit (mathematics) |
||
Red 136: | Red 136: | ||
[[ro:Limită (matematică)]] |
[[ro:Limită (matematică)]] |
||
[[ru:Предел (математика)]] |
[[ru:Предел (математика)]] |
||
[[simple:Limit (mathematics)]] |
|||
[[sk:Limita]] |
[[sk:Limita]] |
||
[[sq:Limiti]] |
[[sq:Limiti]] |
Verzija na dan 1 novembar 2011 u 22:50
U matematici, koncept "granične vrijednosti" koristi se za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.
Granična vrijednost funkcije
Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:
znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".
Formalna definicija
Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:
Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.
znači da
- za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.
ili, simbolički,
Granična vrijednost niza
Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.
formalno, pretpostavimo da je x1, x2, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao
što riječima znači
- Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da za svako n > n0, vrijedi |xn − L| < ε.
Korisni identiteti
- , gdje je S skalarni množilac.
- , gdje je b konstanta.
Slijedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.
- , ako limes u nazivniku nije jednak nuli
Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.
Na primjer, , ali je nedefinisan.
Veoma važne granične vrijednosti
L'Hôpitalovo pravilo
Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)
Na primjer:
Sume i inegrali
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .