Razlika između verzija stranice "Limes (matematika)"
[nepregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
mNo edit summary |
m robot Dodaje: eu:Limite, ru:Предел (математика) Mijenja: fa:حد (ریاضی) |
||
Red 105: | Red 105: | ||
[[cs:Limita]] |
[[cs:Limita]] |
||
[[da:Grænseværdi (matematik)]] |
[[da:Grænseværdi (matematik)]] |
||
[[en:Limit (mathematics)]] |
|||
[[el:Όριο (μαθηματικά)]] |
[[el:Όριο (μαθηματικά)]] |
||
[[ |
[[en:Limit (mathematics)]] |
||
[[eo:Limeso]] |
[[eo:Limeso]] |
||
[[es:Límite matemático]] |
|||
⚫ | |||
[[eu:Limite]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[fr:Limite (mathématiques)]] |
[[fr:Limite (mathématiques)]] |
||
⚫ | |||
[[km:លីមីត]] |
|||
⚫ | |||
[[hi:सीमा (गणित)]] |
[[hi:सीमा (गणित)]] |
||
[[ |
[[hu:Határérték]] |
||
[[id:Limit]] |
[[id:Limit]] |
||
[[io:Limito]] |
|||
[[is:Markgildi]] |
[[is:Markgildi]] |
||
[[it:Limite (matematica)]] |
[[it:Limite (matematica)]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[ |
[[km:លីមីត]] |
||
⚫ | |||
[[lmo:Límit (matemàtega)]] |
[[lmo:Límit (matemàtega)]] |
||
[[ |
[[lt:Riba (matematika)]] |
||
[[nl:Limiet]] |
[[nl:Limiet]] |
||
⚫ | |||
[[no:Grenseverdi]] |
[[no:Grenseverdi]] |
||
[[pl:Granica (matematyka)]] |
[[pl:Granica (matematyka)]] |
||
[[pt:Limite]] |
[[pt:Limite]] |
||
[[ro:Limită (matematică)]] |
[[ro:Limită (matematică)]] |
||
[[ru:Предел (математика)]] |
|||
[[sk:Limita]] |
[[sk:Limita]] |
||
⚫ | |||
[[sq:Limiti]] |
[[sq:Limiti]] |
||
[[sv:Gränsvärde]] |
[[sv:Gränsvärde]] |
Verzija na dan 31 maj 2009 u 05:01
U matematici, koncept "granične vrijednosti" koristi se za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.
Granična vrijednost funkcije
Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:
znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".
Formalna definicija
Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:
Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.
znači da
- za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.
ili, simbolički,
Granična vrijednost niza
Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.
formalno, pretpostavimo da je x1, x2, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao
što riječima znači
- Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da za svako n > n0, vrijedi |xn − L| < ε.
Korisni identiteti
- , gdje je S skalarni množilac.
- , gdje je b konstanta.
Slijedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.
- , ako limes u nazivniku nije jednak nuli
Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.
Na primjer, , ali je nedefinisan.
Veoma važne granične vrijednosti
L'Hôpitalovo pravilo
Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)
Na primjer:
Sume i inegrali
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .