Euklidov vektor

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Split-arrows 2.svg Predloženo je da se ovaj članak podijeli na više članaka.
Molimo da napišete svoje mišljenje o podjeli članka na stranici za diskusiju.
Vektor AB

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

Definicija[uredi | uredi izvor]

Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.[1]

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka i iz . Tada je:

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

Ako zamjenimo sa koje može biti bilo koji broj iz definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku a za vektor pravca ima vektor . Ako je samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački .

Ako je rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor ovo znači da važi:

Označavanje[uredi | uredi izvor]

Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju . Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr . Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao ili AB. Vektori se predstavljaju i grafički.

Primjer
Position vector.svg

vektor od koordinantnog početka do tačke je

U trodimenzionalnom prostoru vektor se označava sa

ili .

U n-dimensionalnom prostoru

Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

. Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora

3D Vector.svg

.

odnosno

ili

.

Dekartove koordinate[uredi | uredi izvor]

U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.

Primjer

Tačke i u prostoru određuju vektor

Nula-vektor[uredi | uredi izvor]

Nula-vektor je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.[2]

Jedinični vektor[uredi | uredi izvor]

Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor može se odrediti odgovarajući jedinični vektor istog pravca i smjera.

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku .

Intenzitet vektora[uredi | uredi izvor]

Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.

Jednakost vektora[uredi | uredi izvor]

Dva vektora

i

su jednaka ako važi

Kolinearni i komplanarni vektori[uredi | uredi izvor]

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni [3], a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.[4],

Projekcija vektora[uredi | uredi izvor]

Projekcija vektora

  • Ortogonalna projekcija u ravni na pravu je funkcija koja svakoj tački

ravni pridružuje tačku u kojoj normala na , koja prolazi tačkom , siječe prava .

  • Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu je funkcija koja svakoj tački

prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom ,a okomita je na , siječe pravu .[1]

Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori[uredi | uredi izvor]

Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

i

su suprotna ako važi

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov

Operacije nad vektorima[uredi | uredi izvor]

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

, ,

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva , a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer je prva koordinata vektora, je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora[uredi | uredi izvor]

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.[5]




Množenje vektora skalarom[uredi | uredi izvor]

Množenje vektora nekim skalarom je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

= =

Sabiranje vektora[uredi | uredi izvor]

Sabiranje vektora
Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora :




Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.


,
, gde je

Pri čemu će vektor c biti iz prostora . Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:



Pri čemu .

Skalarno množenje vektora[uredi | uredi izvor]

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz bi proizvod k izgledao ovako:


,
, gde je

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

,

pri čemu je ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:



To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod[uredi | uredi izvor]

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore () je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:




Jer su , i vektori kanonske baze .

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
, gde je ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
, gde je . Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

Mješoviti proizvod[uredi | uredi izvor]

Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa . A po definiciji je:



Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

  1. Vector
  2. Introducing vectors/ 07.03.1997
  3. Vektorrechnung fürs Abitur / 24.11.2013.
  4. Vektoren 1
  5. POJAM VEKTORA

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Vektor je
  2. ^ Nula vektor
  3. ^ dva ili više vektora su kolinearni/2.12. 2013
  4. ^ dva ili više vektora su komplanarni/ 02.12.2013
  5. ^ Intenzitet vektora