Euklidov vektor

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Split-arrows 2.svg Predloženo je da se ovaj članak podijeli na više članaka.
Molimo da napišete svoje mišljenje o podjeli članka na stranici za diskusiju.
Vektor AB

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

Definicija[uredi | uredi izvor]

Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.[1]

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka A i B iz R^n. Tada je:

\overrightarrow{AB} = \left (B_1 - A_1, B_2 - A_2, \dots, B_n - A_n \right ), a
    \overrightarrow{BA} = \left (A_1 - B_1, A_2 - B_2, \dots, A_n - B_n \right )

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

\overrightarrow{AB} = A + ||AB|| \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||}

Ako ||AB|| zamjenimo sa \lambda koje može biti bilo koji broj iz \R definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku A a za vektor pravca ima vektor AB. Ako je \lambda samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački A.

Ako je ||AB||\ne  \lambda rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor AB' ovo znači da važi:

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{0}

Označavanje[uredi | uredi izvor]

Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju \vec {a}. Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr \underset{^\sim}a. Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao \overrightarrow {AB} ili AB. Vektori se predstavljaju i grafički.

Primjer
Position vector.svg

vektor od koordinantnog početka O = (0,0) do tačke A = (2,3) je a(2,3)

U trodimenzionalnom prostoru R^3 vektor se označava sa

\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) ili \mathbf{a} = (a_\text{x}, a_\text{y}, a_\text{z}).

U n-dimensionalnom R^n prostoru

\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{n-1}, a_n) Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

    \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]. Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora

3D Vector.svg

{\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1).

odnosno

\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3) = a_1(1,0,0) + a_2(0,1,0) + a_3(0,0,1), \

ili

\mathbf{a} = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3 = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3.

Dekartove koordinate[uredi | uredi izvor]

U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.

Primjer

Tačke A = (1,0,0) i B = (0,1,0) u prostoru određuju vektor \ overrightarrow {AB}(1,1,0)

Nula-vektor[uredi | uredi izvor]

Nula-vektor a_0 je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.[2]

\overrightarrow{a_0} = \overrightarrow{0}, \;|\overrightarrow{a_0}| = 0

\overrightarrow{AA}= \overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}

Jedinični vektor[uredi | uredi izvor]

Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor a može se odrediti odgovarajući jedinični vektor v istog pravca i smjera.

\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}, \; \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor (1,0,0) je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku O(0,0,0).

Intenzitet vektora[uredi | uredi izvor]

Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.


    \overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n
    |a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}

Jednakost vektora[uredi | uredi izvor]

Dva vektora

{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3

i


    {\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3

su jednaka ako važi


    a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3

Kolinearni i komplanarni vektori[uredi | uredi izvor]

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni [3], a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.[4],

Projekcija vektora[uredi | uredi izvor]

Projekcija vektora

  • Ortogonalna projekcija u ravni na pravu p je funkcija koja svakoj tački

A ravni pridružuje tačku u kojoj normala na p, koja prolazi tačkom A, siječe prava p.

  • Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu p je funkcija koja svakoj tački

A prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom A,a okomita je na p, siječe pravu p.[1]

Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori[uredi | uredi izvor]

Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

    {\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3

i

{\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3

su suprotna ako važi

a_1 = -b_1,\quad a_2=-b_2,\quad a_3=-b_3

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov

Operacije nad vektorima[uredi | uredi izvor]

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n), a_i \in K, i = 1, ... ,n

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva K^n, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer a_1 je prva koordinata vektora, a_2 je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora[uredi | uredi izvor]

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.[5]

\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n
|a| = \sqrt{{\sum_{i=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}

Množenje vektora skalarom[uredi | uredi izvor]

Množenje vektora \overrightarrow{a} \in K^n nekim skalarom \alpha \in K je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

\alpha \cdot \overrightarrow{a} = \alpha \cdot (a_1,a_2,a_3,...,a_n) = (\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2,...,\alpha \cdot a_n).

Sabiranje vektora[uredi | uredi izvor]

Sabiranje vektora
Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora a, b \in K^n\,:

\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)
\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},
c_i = a_i + b_i\,, gde je i=1,...,n\,

Pri čemu će vektor c biti iz prostora K^n\,. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})

Pri čemu -\overrightarrow{b} = (-b_1,-b_2,...,-b_n).

Skalarno množenje vektora[uredi | uredi izvor]

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz K^n u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz K^n bi proizvod k izgledao ovako:

\cdot : (K^n,K^n) \rightarrow K
k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}, k \in K
k = \sum_{k=1}^n {a_i \cdot b_i}, gde je i=1,...,n

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |a|\cdot|b| \cdot \cos \omega,

pri čemu je \omega ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod[uredi | uredi izvor]

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore (E^3\,) je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:

\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)= \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Jer su \overrightarrow{i}=(1,0,0), \overrightarrow{j}=(0,1,0) i \overrightarrow{k}=(0,0,1) vektori kanonske baze E^3\,.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|\sin \omega, gde je \omega ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =  - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}), tj. vektorski proizvod nije komutativan.
(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b} = \alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}), gde je \alpha \in E. Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

Mješoviti proizvod[uredi | uredi izvor]

Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E^3 preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]. A po definiciji je:

[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \in E^3

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:

  • [x,y,z] = -[y,x,z]
  • [x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]
  • [\alpha x,y,z] = \alpha [x,y,z]
  • [x+t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

  1. Vector
  2. Introducing vectors/ 07.03.1997
  3. Vektorrechnung fürs Abitur / 24.11.2013.
  4. Vektoren 1
  5. POJAM VEKTORA

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Vektor je
  2. ^ Nula vektor
  3. ^ dva ili više vektora su kolinearni/2.12. 2013
  4. ^ dva ili više vektora su komplanarni/ 02.12.2013
  5. ^ Intenzitet vektora