Logaritam

U matematici, logaritam datog broja za datu bazu je stepen na koji treba podići bazu da bi dobili dati broj. Na primjer, logaritam od 1000 za bazu 10 je 3, jer je 10 na 3 (deset na treću) 1000. Generalno, za broj x, bazu b i stepen n se računa:

$\mbox{ako je}~~ b^n = x, ~~\mbox{onda je}~~ \log_b (x) = n. \,$

Logaritamska funkcija

Opća definicija logaritamske funkcije

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija.

Domen logaritamske funkcije je skup $\mathbf{R}_{+}=(0,+\infty)$, a njen rang je skup $\mathbf{R}$ realnih brojeva. Prema tome:

$y=a^x\Longleftrightarrow x=\log_{a}y$ $a>0,\,x\in\mathbf{R},\,y>0$

Simbol $\log_{a}y$ čitamo: Logaritam broja y sa bazom a.

Iz definicije logaritamske funkcije vidimo da je logaritam broja y sa bazom a, eksponent x kojim treba stepenovati bazu a da se dobije broj y.

Logaritam za bazu $e$

Ako je a=e, umjesto $\log_{e}y$ pišemo $\ln y$, i ovakav logaritam nazivamo prirodnim ili Neperovim (Neper) logaritmima. Dakle

$y=e^x \Longleftrightarrow x=\ln y$ za $(x\in\mathbf{R},\,y>0)$ $\ln e^x = x$ za $(x\in\mathbf{R})$ $e^{\ln y} = y$ za $(y>0)$

Osnovne osobine logaritma

Za a > 0 $(a\neq 1)$ je:

• $\log_{a}(x_1 x_2)=\log_{a}x_1 + \log_{a}x_2$
• $\log_{a}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=\log_{a}x_1 - \log_{a}x_2$

Za sve $x_1,x_2>0$ i $\alpha\in\mathbf{R}$ vrijedi:

• $\log_{a}x_1^{\alpha}=\alpha\log_{a}x_1$

Za sve $x\in\mathbf{R}$ je:

• $a^x=e^{x\ln a}$

Za sve x>0 je:

• $\log_{a}x = \ln x \log_{a}e=\frac{\ln x}{\ln a}$

Logaritamska funkcija je neprekidna za sve x > 0, i pri tom je na tom skupu rastuća za a > 1 i opadajuća za 0 < a < 1.

Grafici logaritamskih funkcija

Na narednoj slici je prikazan tipičan grafik logaritamske funkcije $f(x)=\log_{a}x$ za $a>1$:

Na narednoj slici je prikazan tipičan grafik logaritamske funkcije $f(x)=\log_{a}x$ za $0<a<1$:

Na narednoj slici su prikazani grafici exponencijalne i logaritamske funkcije za bazu e:

Ovi grafici su simetrični u odnosu na pravu y = x.

Logaritamske operacije

$\log_b(x*y) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$

$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$

$\log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,$

$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$

Ukidanje eksponenta

$b^{\log_b(x)} = x$

$\log_b(b^x) = x \!\,$

Promjena osnove

$\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}$

Također pogledajte

• Prirodni logaritam
• Beskonačni logaritam
• Iterativni logaritam
• Diskretni logaritam
• Zechovi logaritmi
• Logaritam matrice
• Decibel
• pH