Logaritam

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, logaritam datog broja za datu bazu je stepen na koji treba podići bazu da bi dobili dati broj. Na primjer, logaritam od 1000 za bazu 10 je 3, jer je 10 na 3 (deset na treću) 1000. Generalno, za broj x, bazu b i stepen n se računa:

\mbox{ako je}~~ b^n = x, ~~\mbox{onda je}~~ \log_b (x) = n. \,

Logaritamska funkcija[uredi | uredi izvor]

Opća definicija logaritamske funkcije[uredi | uredi izvor]

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija.

Domen logaritamske funkcije je skup \mathbf{R}_{+}=(0,+\infty), a njen rang je skup \mathbf{R} realnih brojeva. Prema tome:

y=a^x\Longleftrightarrow x=\log_{a}y
a>0,\,x\in\mathbf{R},\,y>0

Simbol \log_{a}y čitamo: Logaritam broja y sa bazom a.

Iz definicije logaritamske funkcije vidimo da je logaritam broja y sa bazom a, eksponent x kojim treba stepenovati bazu a da se dobije broj y.

Logaritam za bazu e[uredi | uredi izvor]

Ako je a=e, umjesto \log_{e}y pišemo \ln y, i ovakav logaritam nazivamo prirodnim ili Neperovim (Neper) logaritmima. Dakle

y=e^x \Longleftrightarrow x=\ln y za (x\in\mathbf{R},\,y>0)
\ln e^x = x za (x\in\mathbf{R})
e^{\ln y} = y za (y>0)

Osnovne osobine logaritma[uredi | uredi izvor]

Za a > 0 (a\neq 1) je:

  • \log_{a}(x_1 x_2)=\log_{a}x_1 + \log_{a}x_2
  • \log_{a}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=\log_{a}x_1 - \log_{a}x_2

Za sve x_1,x_2>0 i \alpha\in\mathbf{R} vrijedi:

  • \log_{a}x_1^{\alpha}=\alpha\log_{a}x_1

Za sve x\in\mathbf{R} je:

  • a^x=e^{x\ln a}

Za sve x>0 je:

  • \log_{a}x = \ln x \log_{a}e=\frac{\ln x}{\ln a}

Logaritamska funkcija je neprekidna za sve x > 0, i pri tom je na tom skupu rastuća za a > 1 i opadajuća za 0 < a < 1.

Grafici logaritamskih funkcija[uredi | uredi izvor]

Na narednoj slici je prikazan tipičan grafik logaritamske funkcije f(x)=\log_{a}x za a>1: Logaritamska funkcija a g 1.png

Na narednoj slici je prikazan tipičan grafik logaritamske funkcije f(x)=\log_{a}x za 0<a<1: Logaritamska funkcija a m 1.png

Na narednoj slici su prikazani grafici exponencijalne i logaritamske funkcije za bazu e: Exponencijalna logaritamska funkcija e.png

Ovi grafici su simetrični u odnosu na pravu y = x.

Logaritamske operacije[uredi | uredi izvor]

 \log_b(x*y) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,

 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)

 \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,

 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}

Ukidanje eksponenta[uredi | uredi izvor]

 b^{\log_b(x)} = x

 \log_b(b^x) = x \!\,

Promjena osnove[uredi | uredi izvor]

\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}


Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: