D'Alambertov test

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, D'Alambertov test je test (ili "kriterij") konvergencije redova

\sum_{n=0}^\infty a_n

čiji su članovi realni ili kompleksni brojevi. Test je prvi objavio Jean le Rond d'Alembert. Test koristi broj

L = \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

gdje "lim sup" označava limes superior kada n teži u beskonačnost. Evo je ekvivalentno

L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

u slačuaju gdje limes postoji.

D'Alambertov test kaže:

Ako je L = 1, tada je test neodlučan (postoje i konvergentni i divergentni redovi koji zadovoljavaju taj slučaj).

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Konvergira[uredi | uredi izvor]

Neka je dat red:

\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}

Ako primjenimo D'Alambertov test:

\begin{align}
   \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}                  {a_n}                   \right|
&= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}      {\frac{n}{e^n}}         \right|\\
&= \frac{1}{e} < 1.
\end{align}

Red konvergira jer je \frac{1}{e} manje od 1.

Divergira[uredi | uredi izvor]

Neka je dat red:

\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}.

Ako primjenimo D'Alambertov test:

\begin{align}
   \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}                  {a_n}                   \right|
&= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}      {\frac{e^n}{n}}         \right|\\
&= e > 1.
\end{align}

Red divergira jer je \frac{1}{e} veće od 1.

Neodlučno[uredi | uredi izvor]

ako je limes općeg člana reda

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

nemoguće je pomoću D'Alambertovog testa odrediti da li red konvergira ili divergira.

Na primjer, red

\sum_{n=1}^\infty 1

divergira, ali

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.

Međutim, red

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

konvergira apsolutno, ali je

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.

Konačno,

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}

konvergira uslovno, ali

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1.

L=1 i Raabeov test[uredi | uredi izvor]

Kao što je pokazano na prethodnom primjeru, D'Alambertov test je neodlučan kada je

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1.

Proširenje D'Alambertovog testa, prema švicaracskom matematičaru Josephu Raabeu, omogućava rješavanje ovakvih slučajeva. Raabeov test kaže da ako je

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

i ako je

\lim_{n\rightarrow\infty}
\,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)<-1

tada red konvergira apsolutno. D'Alembertov test i Raabeov test su prvi i drugi teoremi u hijerarhiji od sličnih teorema prema Augustusu De Morganu.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, third edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. (§ 3.34) ISBN 0-07-054235-X
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3