D'Alambertov test

U matematici, D'Alambertov test je test (ili "kriterij") konvergencije redova

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

čiji su članovi realni ili kompleksni brojevi. Test je prvi objavio Jean le Rond d'Alembert. Test koristi broj

$L = \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

gdje "lim sup" označava limes superior kada n teži u beskonačnost. Evo je ekvivalentno

$L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

u slačuaju gdje limes postoji.

D'Alambertov test kaže:

• ako je L < 1 tada red konvergira apsolutno, te
• ako je L > 1 tada red divergira.

Ako je L = 1, tada je test neodlučan (postoje i konvergentni i divergentni redovi koji zadovoljavaju taj slučaj).

Primjeri

Konvergira

Neka je dat red:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}$

Ako primjenimo D'Alambertov test:

$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}} {a_n} \right| &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}} {\frac{n}{e^n}} \right|\\ &= \frac{1}{e} < 1. \end{align}$

Red konvergira jer je $\frac{1}{e}$ manje od 1.

Divergira

Neka je dat red:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}.$

Ako primjenimo D'Alambertov test:

$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}} {a_n} \right| &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}} {\frac{e^n}{n}} \right|\\ &= e > 1. \end{align}$

Red divergira jer je $\frac{1}{e}$ veće od 1.

Neodlučno

ako je limes općeg člana reda

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

nemoguće je pomoću D'Alambertovog testa odrediti da li red konvergira ili divergira.

Na primjer, red

$\sum_{n=1}^\infty 1$

divergira, ali

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.$

Međutim, red

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

konvergira apsolutno, ali je

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.$

Konačno,

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}$

konvergira uslovno, ali

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1.$

L=1 i Raabeov test

Kao što je pokazano na prethodnom primjeru, D'Alambertov test je neodlučan kada je

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$.

Proširenje D'Alambertovog testa, prema švicaracskom matematičaru Josephu Raabeu, omogućava rješavanje ovakvih slučajeva. Raabeov test kaže da ako je

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

i ako je

$\lim_{n\rightarrow\infty} \,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)<-1$

tada red konvergira apsolutno. D'Alembertov test i Raabeov test su prvi i drugi teoremi u hijerarhiji od sličnih teorema prema Augustusu De Morganu.

Također pogledajte

• Cauchyjev korjeni test
• Radijus konvergencije

Reference

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, third edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. (§ 3.34) ISBN 0-07-054235-X
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3