Greenov teorem

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U fizici i matematici, Greenov teorem (šire poznato kao Greenova formula) daje odnos između linijskog integrala po jednostavnoj zatvorenoj krivoj liniji C i dvostrukog integrala po oblasti D, ograničenoj sa krivom C. To je specijalni dvodimenzionalni slučaj generalnijeg Stokesovog teorema, a dobio je naziv po britanskom naučniku Georgeu Greenu.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Neka C bude pozitivno orijentisana, jednostavna zatvorena kriva u ravni i neka D bude oblast ograničina sa krivom C. Ako L i M imaju neprekidne parcijalne izvode na otvorenoj oblasti koja sadrži D, onda je:

\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

Nekada se napiše mali kružić na simbol integrala \left(\oint_{C}\right) kako bi se pokazalo da je kriva C zatvorena. Za pozitivnu orijentaciju, strijelica, koja pokazuje smijer suprotan kretanju kazaljje na satu, može se ucrtati u ovaj krug.

U fizici, Greenov teorem je najviše koristi kod rješavanja dvodimenzionalnih integrala protoka, koji govore da je suma protoka fluida u bilo kojoj tački unutar volumena jednaka ukupnom protoku kroz zatvorenu površ.

Dokaz kada je D jednostavna oblast[uredi | uredi izvor]

Ako je D jednostavna oblast sa granicoa koja sa sastoji od krivih C1, C2, C3, C4, Greenov teorem se može primijeniti.

Sljedeći dokaz je dokaz teorema za pojednostavljenu oblast D, oblast tipae I, gdje su C2 i C4 vertikalne linije. Sličan dokaz postoji kada je D oblast tipa II, gdje su C1 i C3 prave linije.

Ako se može pokazati da su tvrdnje

\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}

i

\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

tačne, onda Greenov teorem dokazan u prvom slučaju.

Oblast D tipa I (slika desno) je definisana sa:

D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

gdje su g1 i g2 neprekidne funkcije. Izračunavanjem dvostrukog integrala u (1):

 \iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA =\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]
 = \int_a^b \Big\{L[x,g_2(x)] - L[x,g_1(x)] \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}


C se može napisati kao unija četiri krive: C1, C2, C3, C4.

Sa C1, upotrebom parametarskih jednačina: x = x, y = g1(x), axb. Then

\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L[x,g_1(x)]\Big\}\, dx

Sa C3, upotrebom parametarskih jednačina: x = x, y = g2(x), axb. Then

   \int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx

Integral po C3 se poništava jer je usmjeren u suprotnom pravcu od b do a, a C je orijenstisana pozitivno (suprotno kretanju kazaljke na satu). Na C2 i C4, x ostaje konstanta, što znači da je

 \int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0

Zbog toga je

   \int_{C} L\, dx  = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx
 = -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}

Kombinirajući (3) da (4), dobijamo (1). Slična izračunavanja daju (2).

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski kinkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: