Mehanika kontinuuma

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Mehanika kontinuuma
|BernoullisLawDerivationDiagram.png

Mehanika kontinuuma je oblast mehanike koja se bavi mehaničkim ponašanjem materijala koji su modelirani kao kontinuirana masa, a ne kao diskretne čestice. Francuski matematičar Augustin-Louis Cauchy prvi je formulirao takve modele u 19. stoljeću.

Objašnjenje[uredi | uredi izvor]

Modeliranje objekta kao kontinuuma pretpostavlja da njeova supstanca u potpunosti ispunjava prostor koji zauzima. Modeliranje objekata na ovaj način ignorira činjenicu da je materija sačinjena od atoma, i tako nije kontinuirana; međutim, na skali dužine mnogo većoj od one na međuatomskoj udaljenosti, takvi su modeli vrlo precizni. Na takve modele mogu se primijeniti osnovni fizički zakoni, kao što su očuvanje mase, očuvanje impulsa i očuvanje energije, kako bi se izvele diferencijalne jednadžbe koje opisuju ponašanje takvih predmeta, a neke informacije o istraživanom materijalu dodaju se putem konstitutivnih odnosa.

Mehanika kontinuuma bavi se fizičkim svojstvima čvrstih supstanci i fluida koje su neovisne o bilo kojem određenom koordinatnom sistemu u kojem se promatraju. Ta fizička svojstva tada predstavljaju tenzore, koji su matematički objekti sa više traženih svojstava neovisnosti od koordinatnog sistema. Ovi tenzori se mogu izraziti u koordinatnim sistemima radi računske pogodnosti.

Koncept kontinuuma[uredi | uredi izvor]

Materijali, kao što su čvrste supstance, tečnosti i plinovi, sastoje se od molekula odvojenih prostorom. Na mikroskopskoj skali, materijali imaju pukotine i diskontinuitete. Međutim, određeni fizički fenomeni mogu se modelirati, pod pretpostavkom da materijali postoje kao kontinuum, što znači da se materija u tijelu kontinuirano distribuira i ispunjava čitav prostor dijela koji zauzima. Kontinuum je tijelo koje se može kontinuirano podijeliti na beskonačno male elemente sa svojstvima struktura rasutog materijala.

Valjanost pretpostavke o kontinuumu može se provjeriti teorijskom analizom, u kojoj se identificira ili neka jasna periodičnost, ili statistička homogenost i ergodičnost mikrostrukture. Preciznije, pretpostavka o kontinuumu zavisi od koncepata reprezentativnog osnovnog volumena i odvajanja skala na osnovu Hill-Mandelovog stanja. Ovaj uvjet pruža vezu između stajališta eksperimentalista i teoretičara o konstitutivnim jednadžbama (linearna i nelinearna elastična / neelastična ili spregnuta polja), kao i načinu prostornog i statističkog usrednjavanja mikrostrukture.[1]

Kada razdvajanje skala ne vrijedi ili kada se želi uspostaviti kontinuitet finije rezolucije od one reprezentativne veličine volumenskog elementa (RVE), koristi se „statistički volumenski element“ (SVE), koji dovodi do slučajnih polja kontinuuma. Potonji tada pružaju mikromehaničku osnovu za stohastičke konačne elemente (SFE). Nivoi SVE i RVE povezuju mehaniku kontinuuma sa statističkom mehanikom. RVE se može procijeniti samo ograničeno, putem eksperimentalnih ispitivanja: kada konstitutivni odgovor postane prostorno homogen.

Konkretno za fluide, Knudsenov broj koristi se za procjenu u kojoj se mjeri može izvršiti aproksimacija kontinuiteta.

Saobraćaj automobila kao uvodni primjer[uredi | uredi izvor]

Ako se uzme u obzir promet automobila na autoputu, sa samo jednom trakom radi jednostavnosti, pomalo iznenađujuće, i u znak priznanja svojoj efikasnosti, mehanika kontinuuma efikasno modelira kretanje automobila. To ostvaruje putem jednačina parcijalnih diferencijala (PDE) za gustinu automobila. Poznavanje ove situacije osnažuje mogućnost da se razumije malo dihotomije kontinuuma i diskretnosti koja je u osnovi modeliranja kontinuuma uopće.

Za početak modeliranja definirajmo da: mjeri udaljenost (u km) duž autoceste; je vrijeme (u minutama); je gustoća automobila na autoputu (u automobilima/km u traci); a je brzina protoka (prosječna brzina) tih automobila 'na' položaju .

Konzervacija izvođenja PDJ[uredi | uredi izvor]

Automobili se tek tako pojavljuju pa nestaju. Razmotrimo bilo koju grupu automobila: od određenog automobila na stražnjem dijelu grupe koji se nalazi na do određenog automobila na prednjoj strani koji se nalazi na do određenog automobila sprijeda koji se nalazi na . T:Ukupan broj automobila u ovoj grupi . Budući da su automobili zaštićeni (ako postoji preticanje, tada "automobil sprijeda\ straga" može postati različiti automobil)

.

Ali putem Leibnizovog integralnog pravila:

Ovaj integral, kao nula, vrijedi za sve grupe, odnosno za sve intervale . Jedini način na koji integral može biti nula za sve intervale je ako je integran za sve . Slijedom toga, konzervacija izvodi nelinearno konzerviranje prvog reda PDE

za sve pozicije na autoputu.

Ovaj zaštitni PDE odnosi se, ne samo na automobilski prome,t već i na tečnosti, čvrste materije, gužvu, životinje, biljke, požar, finansijski promet itd.

Promatranje zatvara problem[uredi | uredi izvor]

Kada vrijedi skala razdvajnja ili kada se želi uspostaviti kontinuitet finije rezolucije od one reprezentativne veličine volumenskog elementa (RVE), koristi se „statistički volumenski element“ (SVE), koji u okret, dovodi do slučajnih polja kontinuuma. Potonji tada pružaju mikromehaničku osnovu za stohastičke konačne elemente (SFE). Nivoi SVE i RVE povezuju mehaniku kontinuuma sa statistička mehanika. RVE se može procijeniti samo ograničeno putem eksperimentalnih ispitivanja: kada konstitutivni odgovor postane prostorno homogen.

Konkretno, za fluide, koristi se Knudsenov brojza procjenu u kojoj se mjeri mmože izvršiti aproksimacija kontinuiteta.

Primjena[uredi | uredi izvor]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]


Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Ostoja-Starzewski 2008, chapters 7–10.

Dopunska literatura[uredi | uredi izvor]

  • Dienes, J. K.; Solem, J. C. (1999). "Nonlinear behavior of some hydrostatically stressed isotropic elastomeric foams". Acta Mechanica. 138 (3–4): 155–162. doi:10.1007/BF01291841.
  • Fung, Y. C. (1977). A First Course in Continuum Mechanics (2nd izd.). Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-318311-5.
  • Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (Revised izd.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Arhivirano s originala (PDF), 31 March 2010. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
  • Ostoja-Starzewski, M. (2008). "7-10". Microstructural randomness and scaling in mechanics of materials. CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.
  • Spencer, A.J.M. (1980). Continuum Mechanics. Longman Group Limited (London). str. 83. ISBN 978-0-582-44282-5.
  • Roberts, A. J. (1994). A One-Dimensional Introduction to Continuum Mechanics. World Scientific.

Opće reference[uredi | uredi izvor]

  • Batra, R. C. (2006). Elements of Continuum Mechanics. Reston, VA: AIAA.
  • Chen, Youping; James D. Lee; Azim Eskandarian (2009). Meshless Methods in Solid Mechanics (First izd.). Springer New York. ISBN 978-1-4419-2148-2.
  • Dimitrienko, Yuriy (2011). Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Germany: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.
  • Malvern, Lawrence E. (1969). Introduction to the mechanics of a continuous medium. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
  • Wright, T. W. (2002). The Physics and Mathematics of Adiabatic Shear Bands. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]